复数

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复数

引入

注

下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 $x^{2} + a = 0 (a > 0)$ 有没有解，进而可以归结为方程 $x^{2} + 1 = 0$ 有没有解。

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 $x^{2} - 2 = 0$ 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

依照这种思想，为了解决 $x^{2} + 1 = 0$ 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 $i$ ，使得 $x = i$ 是方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的解，即使得 $i^{2} = - 1$ 。

思考：把新引进的数 $i$ 添加到实数集中，我们希望数 $i$ 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数 $b$ 与 $i$ 相乘，结果记作 $b i$ ；把实数 $a$ 与 $b i$ 相加，结果记作 $a + b i$ 。注意到所有实数以及 $i$ 都可以写成 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。

定义

我们定义形如 $a + b i$ ，其中 $a, b \in R$ 的数叫做复数，其中 $i$ 被称为 虚数单位，全体复数的集合叫做 复数集，记作 $C$ 。

复数通常用 $z$ 表示，即 $z = a + b i$ 。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 $a$ 称为复数 $z$ 的实部，记作 $Re (z)$ ， $b$ 称为复数 $z$ 的虚部，记作 $Im (z)$ 。如无特殊说明，都有 $a, b \in R$ 。

对于一个复数 $z$ ，当且仅当 $b = 0$ 时，它是实数，当 $b \neq 0$ 时，它是虚数，当 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ 时，它是纯虚数。

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示。

性质与运算

几何意义

我们知道了 $a + b i$ 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质。

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。

首先我们定义 复数相等：两个复数 $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i$ 是相等的，当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ 。

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释。

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 $(a, b)$ 表示一个复数 $z = a + b i$ 。这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了，我们找到了复数的一种几何意义。

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面， $x$ 轴称为实轴， $y$ 轴称为虚轴。我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 $(a, b)$ ，显然，复数 $z = a + b i$ 对应复平面内的点 $Z (a, b)$ ，那么它还对应平面向量 $\vec{O Z} = (a, b)$ ，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 $0$ 与零向量对应）。

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 $z = a + b i$ 的模 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 。

于是为了方便，我们常把复数 $z = a + b i$ 称为点 $Z$ 或向量 $\vec{O Z}$ ，并规定相等的向量表示同一个复数。

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）。

加法与减法

对复数 $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i$ ，定义加法规则如下：

z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i

很明显，两个复数的和仍为复数。

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性。

同样可以验证，复数的加法满足 交换律 和 结合律。即：

\begin{aligned} z_{1} + z_{2} & = z_{2} + z_{1} \\ (z_{1} + z_{2}) + z_{3} & = z_{1} + (z_{2} + z_{3}) \end{aligned}

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

z_{1} - z_{2} = (a - c) + (b - d) i

这同样符合向量的减法运算。

乘法、除法与共轭

对复数 $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i$ ，定义乘法规则如下：

\begin{aligned} z_{1} z_{2} & = (a + b i) (c + d i) \\ = a c + b c i + a d i + b d i^{2} \\ = (a c - b d) + (b c + a d) i \end{aligned}

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 $i^{2}$ 换成 $- 1$ ，并将实部与虚部分别合并即可。

复数的乘法与向量的向量积形式类似。

易得复数乘法满足 交换律，结合律 和 对加法的分配律，即：

$z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$
$(z_{1} z_{2}) z_{3} = z_{1} (z_{2} z_{3})$
$z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

\begin{aligned} \frac{a + b i}{c + d i} & = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} \\ = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} i & (c + d i \neq 0) \end{aligned}

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系。

为了分母实数化，我们乘了一个 $c - d i$ ，这个式子很有意义。

对复数 $z = a + b i$ ，称 $a - b i$ 为 $z$ 的 共轭复数，通常记为 $\bar{z}$ 。我们可以发现，若两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称。

对复数 $z, w$ ，复数共轭有如下性质

$z \cdot \bar{z} = | z |^{2}$
$\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$
$Re (z) = \frac{z + \bar{z}}{2}$ ， $Im (z) = \frac{z - \bar{z}}{2}$
$\overset{―}{z \pm w} = \bar{z} \pm \bar{w}$
$\overset{―}{z w} = \bar{z} \bar{w}$
$\overset{―}{z / w} = \bar{z} / \bar{w}$

辐角和辐角主值

如果设定实数单位 $1$ 作为水平正方向，虚数单位 $i$ 作为竖直正方向，得到的就是直角坐标视角下的复平面。

表示复数 $z$ 的位置，也可以借助于极坐标 $(r, θ)$ 确定。前文已经提到了 $r$ 为复数 $z$ 的模。

从实轴正向到非零复数 $z = x + i y$ 对应向量的夹角 $θ$ 满足关系：

\tan θ = \frac{y}{x}

称为复数 $z$ 的辐角，记为：

θ = \arg z

任一个非零复数 $z$ 有无穷多个辐角，故 $\arg z$ 事实上是一个集合。借助开头大写的 $Arg z$ 表示 其中一个特定值，满足条件：

- π < Arg z \leq π

称 $Arg z$ 为 辐角主值 或 主辐角。辐角就是辐角主值基础上加若干整数个（可以为零或负整数） $2 k π$ ，即 $\arg z = {Arg z + 2 k π ∣ k \in Z}$ 。

需要注意的是两个辐角主值相加后不一定还是辐角主值，而两个辐角相加一定还是合法的辐角。

称模小于 $1$ 的复数，在复平面上构成的图形为 单位圆。称模等于 $1$ 的复数为 单位复数，全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周。在不引起混淆的情况下，有时单位圆周也简称单位圆。

在极坐标的视角下，复数的乘除法变得很简单。复数乘法，模相乘，辐角相加。复数除法，模相除，辐角相减。

欧拉公式

欧拉公式（Euler's formula）¹

对任意实数 $x$ ，有

e^{i x} = \cos x + i \sin x

在补充复指数函数与复三角函数的定义后，该公式可推广至全体复数。

指数函数与三角函数

对于复数 $z = x + i y$ ，函数 $f (z) = e^{x} (\cos y + i \sin y)$ 满足 $f (z_{1} + z_{2}) = f (z_{1}) f (z_{2})$ 。由此给出 复指数函数 的定义：

\exp z = e^{x} (\cos y + i \sin y)

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质：

模恒正： $| \exp z | = \exp x > 0$ 。
辐角： $\arg (\exp z) = {y + 2 k π ∣ k \in Z}$ 。
加法定理： $\exp (z_{1} + z_{2}) = \exp (z_{1}) \exp (z_{2})$ 。
周期性： $\exp z$ 是以 $2 π i$ 为基本周期的周期函数。如果一个函数 $f (z)$ 的周期是某一周期的整倍数，称该周期为 基本周期。

复三角函数（也简称 三角函数）的定义如下：

\cos z = \frac{\exp (i z) + \exp (- i z)}{2}

\sin z = \frac{\exp (i z) - \exp (- i z)}{2 i}

若取 $z \in R$ ，则由欧拉公式有：

\cos z = Re (e^{i z})

\sin z = Im (e^{i z})

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质：

奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
三角恒等式：通常的三角恒等式都成立，例如平方和为 $1$ ，或者角的和差公式等。
周期性：正弦与余弦函数以 $2 π$ 为基本周期。
零点：实正弦与实余弦函数的全体零点，构成了复正弦与复余弦函数的全体零点。这个推广没有引进新的零点。
模的无界性：复正弦与复余弦函数，模长可以大于任意给定的正数，不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 $1$ 的范围内。

复数的三种形式

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角，可以写出复数的三种形式。

复数的 代数形式 用于表示任意复数。

z = x + y i

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便。

复数的 三角形式 和 指数形式，用于表示非零复数。

z = r (\cos θ + i \sin θ) = r \exp (i θ)

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便。如果只用高中见过的函数，可以使用三角形式。如果引入了复指数函数，写成等价的指数形式会更加方便。

单位根

考察方程 $x^{n} = 1$ 在复数意义下的解。显然，这样的解有 $n$ 个，称这 $n$ 个解都是 $n$ 次单位（复）根（ $n$ -th root of unity）。根据复平面的知识， $n$ 次单位根把单位圆 $n$ 等分。

设 $ω_{n} = \exp \frac{2 π i}{n}$ （即幅角为 $2 π / n$ 的单位复数），则 $x^{n} = 1$ 的解集表示为 ${ω_{n}^{k} ∣ k = 0, 1 \dots, n - 1}$ ，其中，

w_{n}^{k} = \exp \frac{2 π k i}{n} = \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n} .

如果不加说明，一般叙述中的 $n$ 次单位根，是指从 $1$ 开始逆时针方向的第一个解，即上述 $ω_{n}$ ，其它解均可以用 $ω_{n}$ 的幂表示。

为什么通常提到

n

次单位根，总是特指第一个？

主要是为了应用时方便。所有 $n$ 次单位根都可以表示为第一个 $n$ 次单位根 $ω_{n}$ 的幂次；而且，对于任意 $k < n$ ，复数 $ω_{n}$ 都不是 $k$ 次单位根。

本原单位根

事实上， $n$ 次单位根中满足类似性质的不止 $ω_{n}$ 一个。称集合

{ω_{n}^{k} ∣ 0 \leq k < n, gcd (n, k) = 1}

中的元素为 $n$ 次本原单位根（ $n$ -th primitive root of unity）。根据上述表达式可知，全体 $n$ 次本原单位根共有 $φ (n)$ 个，其中， $φ (n)$ 为欧拉函数。

任意一个本原单位根 $ω$ ，都与上述 $ω_{n}$ 具有相同的性质：对于任意的 $0 < k < n$ ， $ω$ 的 $k$ 次幂不为 $1$ ，也就是说， $ω$ 不是 $k$ 次单位根。因此，借助任意一个本原单位根，都可以生成全体单位根。

为了理解 $n$ 次本原单位根的结构，需要考虑单位根的如下性质：

性质

对于整数 $n$ 和 $k$ ，设 $d = gcd (n, k)$ ，有 $ω_{n}^{k} = ω_{n / d}^{k / d}$ 。

证明

直接计算可知

w_{n}^{k} = \exp \frac{2 π k i}{n} = \exp \frac{2 π (k / d) i}{n / d} = ω_{n / d}^{k / d} .

这说明，只要 $gcd (n, k) \neq 1$ ，那么， $ω_{n}^{k}$ 就一定是 $\frac{n}{gcd (n, k)}$ 次（本原）单位根。因此，满足前述性质的单位根 $ω_{n}^{k}$ 一定是满足 $gcd (n, k) = 1$ 。这正是本原单位根具有上述定义的原因。

另外，作为这些分析的简单推论，有：

定理

当 $k$ 遍历 $n$ 的因数，所有 $k$ 次本原单位根恰构成 $n$ 次单位根的一个划分。而且，对于 $ℓ ⟂ n$ ，映射 $x \mapsto x^{ℓ}$ 给出 $n$ 次单位根之间的双射，且保持上述划分不变：它将 $k ∣ n$ 次本原单位根仍然映射到 $k$ 次本原单位根。

尽管本原单位根有很多选择，但是由于第一个根 $ω_{n}$ 形式最为简单，算法竞赛中还是 $ω_{n}$ 最为常用。对于部分场景，为提高计算效率，还可以考虑用某一模数下的本原单位根代替复数域中的 $ω_{n}$ 。

编程语言中的复数

C 中的复数

在 C99 标准中，有 <complex.h> 头文件。

在 <complex.h> 头文件中，提供了 double complex、float complex 和 long double complex 三种类型。

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/'，可以用于浮点数和复数的任意混合。当表达式两端有一个为复数时，计算结果为复数。

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I，引入此头文件时，大写字母 I 不可以作为变量名使用。

对于单个复数，<complex.h> 提供了若干操作：creal 函数用于提取实部，cimag 函数用于提取虚部，cabs 函数用于计算模，carg 函数用于计算辐角主值。

所有的函数根据类型不同，都有三个。例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个，用于处理对应的 double、float 和 long double 三种类型。末尾什么都不带的默认处理 double 类型。以下所有函数均遵从此规律，不再特别说明。

这些函数返回值都是一般的浮点数。可以将普通浮点数直接赋值给复数，但是不可以将复数直接赋值给浮点数，而是需要使用上述提取操作。

函数 conj 用于计算共轭复数，返回值是复数。

函数 cexp 计算复指数，clog 计算对数主值，csin 计算正弦，ccos 计算余弦，ctan 计算正切。

函数 cpow 计算幂函数，csqrt 计算平方根，casin 计算反正弦，cacos 计算反余弦，catan 计算反正切。这部分函数计算的全部都是多值函数的主值。

C++ 中的复数

在 C 里面的 <ctype.h>，到 C++ 会变成 <cctype>，几乎所有的头文件遵从这个命名规律。

但是，<complex.h> 不遵守，C++ 没有 <ccomplex> 头文件。C++ 的复数直接是 <complex>，并且装的东西和 C 完全不一样。

很有趣。这是因为，在 C++ 的第一个版本 C++98，即已经有了 <complex>，而 C 语言在 C99 才添加。

在 C++ 中，复数类型定义使用 complex<float>、complex<double> 和 complex<long double>。由于面向对象的多态性，下面函数的名字都是唯一的，无需 f 或 l 的后缀。

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag，可以访问实部和虚部。

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg，返回实部、虚部、模和辐角。

一个复数对象还拥有非成员函数：norm 为模的平方，conj 为共轭复数。

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log（底为 $e$ 的对数主值）、log10（底为 10 的对数主值，C 中没有）、pow、sqrt、sin、cos、tan，含义与 C 中的含义相同。

在 C++14 及以后的版本中，定义了字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il。例如输入 100if、100i 和 100il，三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}、std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}。这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4.0 + 3i 的复数声明。

参考资料与链接

有关欧拉公式的更多介绍，可以参考两个视频：欧拉公式与初等群论、微分方程概论 - 第五章：在 3.14 分钟内理解 $e^{i π}$ 。 ↩

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