同余最短路
当出现形如「给定 个整数,求这 个整数能拼凑出多少的其他整数( 个整数可以重复取)」,以及「给定 个整数,求这 个整数不能拼凑出的最小(最大)的整数」,或者「至少要拼几次才能拼出模 余 的数」的问题时可以使用同余最短路的方法。
同余最短路利用同余来构造一些状态,可以达到优化空间复杂度的目的。
类比 差分约束 方法,利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的 ,类似单源最短路中 。
例题
例题一
P3403 跳楼机
题目大意:给定 ,,,,对于 ,有多少个 能够满足 。(,,)
不妨假设 。
令 为只通过 操作 2 和 操作 3,需满足 能够达到的最低楼层 ,即 操作 2 和 操作 3 操作后能得到的模 下与 同余的最小数,用来计算该同余类满足条件的数个数。
可以得到两个状态:
注意通常选取一组 中最小的那个数对它取模,也就是此处的 ,这样可以尽量减小空间复杂度(剩余系最小)。
那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作:
add(i, (i+y) % x, y)
add(i, (i+z) % x, z)
接下来只需要求出 ,只需要跑一次最短路就可求出相应的 。
与差分约束问题相同,当存在一组解 时, 同样为一组解,因此在该题让 作为源点,此时源点处的 在已知范围内最小,因此得到的也是一组最小的解。
答案即为:
加 1 是由于 所在楼层也算一次。
代码实现上注意到 的范围是 ,所以在求解最短路之前 的初始值应至少设为 ,这超过了 C++ 中 long long
的最大值。所以可以使用 unsigned long long
或者先把 ,然后把最低楼层设为 层,其他代码无异。
参考实现
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65 | #include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100010;
const long long linf = (1ull << 63) - 1;
ll h, x, y, z;
ll head[maxn << 1], tot;
ll dis[maxn], vis[maxn];
queue<int> q;
struct edge {
ll to, next, w;
} e[maxn << 1];
void add(ll u, ll v, ll w) {
e[++tot] = edge{v, head[u], w};
head[u] = tot;
}
void spfa() { // spfa算法,可看最短路部分
dis[0] = 0;
vis[0] = 1;
q.push(0);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = 0;
for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to, w = e[i].w;
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
if (!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v] = 1;
}
}
}
}
}
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
cin >> h;
cin >> x >> y >> z;
if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {
cout << h << '\n';
return 0;
}
--h;
for (int i = 0; i < x; i++) {
add(i, (i + z) % x, z);
add(i, (i + y) % x, y);
dis[i] = linf;
}
spfa();
ll ans = 0;
for (int i = 0; i < x; i++) {
if (h >= dis[i]) ans += (h - dis[i]) / x + 1;
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}
|
例题二
ARC084B Small Multiple
题目大意:给定 ,求 的倍数中,数位和最小的那一个的数位和。()
本题可以使用循环卷积优化完全背包在 的时间内解决,但我们希望得到线性的算法。
观察到任意一个正整数都可以从 开始,按照某种顺序执行乘 、加 的操作,最终得到,而其中加 操作的次数就是这个数的数位和。这提示我们使用最短路。
对于所有 ,从 向 连边权为 的边;从 向 连边权为 的边。(点的编号均在模 意义下)
每个 的倍数在这个图中都对应了 号点到 号点的一条路径,求出 到 的最短路即可。某些路径不合法(如连续走了 条边权为 的边),但这些路径产生的答案一定不优,不影响答案。
时间复杂度 。
习题
洛谷 P3403 跳楼机
洛谷 P2662 牛场围栏
[国家集训队] 墨墨的等式
「NOIP2018」货币系统
AGC057D - Sum Avoidance
「THUPC 2023 初赛」背包
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