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同余最短路

当出现形如“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数能拼凑出多少的其他整数（ $n$ 个整数可以重复取）”，以及“给定 $n$ 个整数，求这 $n$ 个整数不能拼凑出的最小（最大）的整数”，或者“至少要拼几次才能拼出模 $K$ 余 $p$ 的数”的问题时可以使用同余最短路的方法。

同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到优化空间复杂度的目的。

类比差分约束方法，利用同余构造的这些状态可以看作单源最短路中的点。同余最短路的状态转移通常是这样的 $f(i+y) = f(i) + y$ ，类似单源最短路中 $f(v) = f(u) +edge(u,v)$ 。

例题¶

例题一¶

P3403 跳楼机

题目大意：给定 $x，y，z，h$ ，对于 $k \in [1,h]$ ，有多少个 $k$ 能够满足 $ax+by+cz=k$ 。（ $1\le x,y,z\le 10^5$ ， $h\le 2^{63}-1$ ）

不妨假设 $x < y < z$ 。

令 $d_i$ 为只通过 操作 2 和 操作 3 能够达到的最低楼层 $p$ ，并且满足 $p\bmod x=i$ 。

可以得到两个状态：

$i \xrightarrow{y} (i+y) \bmod x$
$i \xrightarrow{z} (i+z) \bmod x$

注意通常选取一组 $a_i$ 中最小的那个数对它取模，也就是此处的 $x$ ，这样可以尽量减小空间复杂度（剩余系最小）。

那么实际上相当于执行了最短路中的建边操作：

add(i, (i+y) % x, y)

add(i, (i+z) % x, z)

接下来只需要求出 $d_0, d_1, d_2, \dots, d_{x-1}$ ，只需要跑一次最短路就可求出相应的 $d_i$ 。答案即为：

$\sum_{i=0}^{x-1}\left(\frac{h-d_i}{x} + 1\right)$

加一是由于当前所在楼层也算一次。

参考实现

  #include <bits/stdc++.h>

  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int maxn = 100010;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;

  ll h, x, y, z;
  ll head[maxn << 1], tot;
  ll dis[maxn], vis[maxn];
  queue<int> q;

  struct edge {
    ll to, next, w;
  } e[maxn << 1];

  void add(ll u, ll v, ll w) {
    e[++tot] = edge{v, head[u], w};
    head[u] = tot;
  }

  void spfa() {  // spfa算法，可看最短路部分
    dis[1] = 1;
    vis[1] = 1;
    q.push(1);
    while (!q.empty()) {
      int u = q.front();
      q.pop();
      vis[u] = 0;
      for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to, w = e[i].w;
        if (dis[v] > dis[u] + w) {
          dis[v] = dis[u] + w;
          if (!vis[v]) {
            q.push(v);
            vis[v] = 1;
          }
        }
      }
    }
  }

  int main() {
    memset(dis, INF, sizeof(dis));
    scanf("%lld", &h);
    scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &z);
    if (x == 1 || y == 1 || z == 1) {
      printf("%d\n", h);
      return 0;
    }
    for (int i = 0; i < x; i++) {
      add(i, (i + z) % x, z);
      add(i, (i + y) % x, y);
    }
    spfa();
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < x; i++) {
      if (h >= dis[i]) ans += (h - dis[i]) / x + 1;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
  }

例题二¶

ARC084B Small Multiple

题目大意：给定 $n$ ，求 $n$ 的倍数中，数位和最小的那一个的数位和。（ $1\le n\le 10^5$ ）

本题可以使用循环卷积优化完全背包在 $O(n\log^2 n)$ 的时间内解决，但我们希望得到线性的算法。

观察到任意一个正整数都可以从 $1$ 开始，按照某种顺序执行乘 $10$ 、加 $1$ 的操作，最终得到，而其中加 $1$ 操作的次数就是这个数的数位和。这提示我们使用最短路。

对于所有 $0\le k\le n-1$ ，从 $k$ 向 $10k$ 连边权为 $0$ 的边；从 $k$ 向 $k+1$ 连边权为 $1$ 的边。（点的编号均在模 $n$ 意义下）

每个 $n$ 的倍数在这个图中都对应了 $1$ 号点到 $0$ 号点的一条路径，求出 $1$ 到 $0$ 的最短路即可。某些路径不合法（如连续走了 $10$ 条边权为 $1$ 的边），但这些路径产生的答案一定不优，不影响答案。

时间复杂度 $O(n)$ 。

习题¶

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同余最短路

例题¶

例题一¶

例题二¶

习题¶

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