裴蜀定理

定义

裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。

其内容是：

设 是不全为零的整数，则存在整数 , 使得 .

证明

  1. 若任何一个等于 , 则 . 这时定理显然成立。

  2. 若 不等于 .

    由于 ,

    不妨设 都大于 ，.

    对 , 两边同时除以 , 可得 , 其中 .

    转证 .

    我们先回顾一下辗转相除法是怎么做的，由 我们把模出来的数据叫做 于是，有

    把辗转相除法中的运算展开，做成带余数的除法，得

    不妨令辗转相除法在除到互质的时候退出则 所以有（ 被换成了 ，为了符合最终形式）

    即

    由倒数第三个式子 代入上式，得

    然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去 ,

    可证得 . 这样等于是一般式中 的情况。

应用

Codeforces Round #290 (Div. 2) D. Fox And Jumping

给出 张卡片，分别有 和 。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 的钱来购买卡片 ，从此以后可以向左或向右跳 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 。

分析该问题，先考虑两个数的情况，发现想要跳到每一个格子上，必须使得这些数通过数次相加或相减得出的绝对值为 ，进而想到了裴蜀定理。

可以推出：如果 与 互质，那么一定存在两个整数 与 ，使得 .

由此得出了若选择的卡牌的数通过数次相加或相减得出的绝对值为 ，那么这些数一定互质，此时可以考虑动态规划求解。

不过可以转移思想，因为这些数互质，即为 号节点开始，每走一步求 （节点号，下一个节点），同时记录代价，就成为了从 通过不断 最后变为 的最小代价。

由于：互质即为最大公因数为 ， 这两个定理，可以证明该算法的正确。选择优先队列优化 Dijkstra 求解。

不过还有个问题，即为需要记录是否已经买过一个卡片，开数组标记由于数据范围达到 会超出内存限制，可以想到使用 unordered_map（比普通的 map 更快地访问各个元素，迭代效率较低，详见 STL-map）

进一步结论

设自然数 a、b 和整数 n。a 与 b 互素。考察不定方程：

其中 x 和 y 为自然数。如果方程有解，称 n 可以被 a、b 表示。

记 。由 a 与 b 互素，C 必然为奇数。则有结论：

对任意的整数 n，n 与 中有且仅有一个可以被表示。

即：可表示的数与不可表示的数在区间 对称（关于 C 的一半对称）。0 可被表示，C 不可被表示；负数不可被表示，大于 C 的数可被表示。

证明

由于 a、b 互素，因此原方程有整数解。设解为：

其中 t 为整数。取适当的 t，使得 y 位于 0 到 之间。这只需在 上加上或减去若干个 a，即可得到这样的 t。

第一步：证明大于 C 的数都可以被表示。当 n 大于 C 时：

于是 x 也是非负整数。

第二步：证明 C 不可被表示，进而 n 与 不可能都被表示。

反证法。若 有非负整数解 x、y，则：

由于 a 与 b 互素，所以 a 整除 ，b 整除 ，a 不超过 ，b 不超过 。于是有：

矛盾！第二步证完。

第三步：证明如果 n 不可被表示，则 可被表示。

由上可知，若 n 不可被表示，由于上述方程中已规定 y 在 0 到 之间，则 x 为负。所以：

显然 和 均非负，于是 可被表示。

几何意义

重新观察方程 ，将它看成一条直线。直线与两坐标轴在第一象限围成三角形。

当 的时候，这个直线在第一象限，至多只能通过一个整点。

根据上述讨论：当 n 可以被表示的时候，直线恰好经过一个整点；当 n 不可以被表示的时候，直线不经过整点（在第一象限）。

这结论也可以理解为：作三角形（0,0)(b,0)(0,a)。随着 n 从 0 不断增加，直线向右上方平移，整点会一个一个地通过直线，直到最后才撞上两个整点。

因此，小于等于 n 的能被表示的非负整数的数量，恰好就是直线 （含）与两坐标轴（含）在第一象限围成三角形覆盖的整点个数。

另一种解释

考虑模 b 意义下每个剩余系中最小能被表示的值是多少——大于他们的可以通过增加若干个 b 得到。

观察原方程，a 的若干倍数 在 意义下互不相同。这些数恰好是这些最小值。那么当 时，小于等于 n 的能被表示的非负整数的数量是：

这是一个非常经典的直线下整点问题，恰好是这条直线：

即 。

使用类欧几里得算法可以在 的时间内求解。因此我们得到了计算小于等于 n 的能被表示的非负整数的数量的工具。

题目

P3951 NOIP2017 提高组 小凯的疑惑/蓝桥杯 2013 省 买不到的数目

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