分拆数

分拆:将自然数 写成递降正整数和的表示。

和式中每个正整数称为一个部分。

分拆数:。自然数 的分拆方法数。

开始的分拆数:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 5 7 11 15 22

k 部分拆数

分成恰有 个部分的分拆,称为 部分拆数,记作

显然, 部分拆数 同时也是下面方程的解数:

如果这个方程里面恰有 个部分非 0,则恰有 个解。因此有和式:

相邻两个和式作差,得:

如果列出表格,每个格里的数,等于左上方的数,加上该格向上方数,所在列数个格子中的数。

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 2 1 1 0 0 0 0
0 1 2 2 1 1 0 0 0
0 1 3 3 2 1 1 0 0
0 1 3 4 3 2 1 1 0
0 1 4 5 5 3 2 1 1

例题

计算k部分拆数

计算 部分拆数 。多组输入,其中 上界为 上界为 ,对 取模。

观察表格与递推式,按列更新对于存储更有利。不难写出程序:

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#include <stdio.h>
#include <string.h>

int p[10005][1005]; /*将自然数n分拆为k个部分的方法数*/

int main() {
  int n, k;
  while (~scanf("%d%d", &n, &k)) {
    memset(p, 0, sizeof(p));
    p[0][0] = 1;
    int i;
    for (i = 1; i <= n; ++i) {
      int j;
      for (j = 1; j <= k; ++j) {
        if (i - j >= 0) /*p[i-j][j]所有部分大于1*/
        {
          p[i][j] = (p[i - j][j] + p[i - 1][j - 1]) %
                    1000007; /*p[i-1][j-1]至少有一个部分为1。*/
        }
      }
    }
    printf("%d\n", p[n][k]);
  }
}

生成函数

生成函数:一种幂级数。各项的系数为数列中的对应项。

由等比数列求和公式,有:

对于 部分拆数,生成函数稍微复杂。具体写出如下:

Ferrers 图

Ferrers 图:将分拆的每个部分用点组成的行表示。每行点的个数为这个部分的大小。

根据分拆的定义,Ferrers 图中不同的行按照递减的次序排放。最长行在最上面。

例如:分拆 的 Ferrers 图。

将一个 Ferrers 图沿着对角线翻转,得到的新 Ferrers 图称为原图的共轭,新分拆称为原分拆的共轭。显然,共轭是对称的关系。

例如上述分拆 的共轭是分拆

最大 分拆数:自然数 的最大部分为 的分拆个数。

根据共轭的定义,有显然结论:

最大 分拆数与 部分拆数相同,均为

互异分拆数

互异分拆数:。自然数 的各部分互不相同的分拆方法数。(Different)

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 2 2 3 4 5 6

同样地,定义互异 部分拆数 ,表示最大拆出 个部分的互异分拆,是这个方程的解数:

完全同上,也是这个方程的解数:

这里与上面不同的是,由于互异,新方程中至多只有一个部分为零。有不变的结论:恰有 个部分非 ,则恰有 个解,这里 只取 。因此直接得到递推:

同样像组合数一样列出表格,每个格里的数,等于该格前一列上数,所在列数个格子中的数,加上该格向上方数,所在列数个格子中的数。

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 2 0 0 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0 0 0
0 1 3 1 0 0 0 0 0
0 1 3 2 0 0 0 0 0

例题

计算互异分拆数

计算互异分拆数 。多组输入,其中 上界为 ,对 取模。

观察表格与递推式,按列更新对于存储更有利。代码中将后一位缩减了空间,仅保留相邻两项。

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#include <stdio.h>
#include <string.h>

int pd[50005][2]; /*将自然数n分拆为k个部分的互异方法数*/

int main() {
  int n;
  while (~scanf("%d", &n)) {
    memset(pd, 0, sizeof(pd));
    pd[0][0] = 1;
    int ans = 0;
    int j;
    for (j = 1; j < 350; ++j) {
      int i;
      for (i = 0; i < 350; ++i) {
        pd[i][j & 1] = 0; /*pd[i][j]只与pd[][j]和pd[][j-1]有关*/
      }
      for (i = 0; i <= n; ++i) {
        if (i - j >= 0) /*pd[i-j][j]所有部分大于1*/
        {
          pd[i][j & 1] = (pd[i - j][j & 1] + pd[i - j][(j - 1) & 1]) %
                         1000007; /*pd[i-j][j-1]至少有一个部分为1。*/
        }
      }
      ans = (ans + pd[n][j & 1]) % 1000007;
    }
    printf("%d\n", ans);
  }
}

奇分拆数

奇分拆数:。自然数 的各部分都是奇数的分拆方法数。(Odd)

有一个显然的等式:

最左边是互异分拆数的生成函数,最右边是奇分拆数的生成函数。两者对应系数相同,因此,奇分拆数和互异分拆数相同:

但显然 部奇分拆数和互异 部分拆数不是一个概念,这里就不列出了。

再引入两个概念:

互异偶分拆数:。自然数 的部分数为偶数的互异分拆方法数。(Even)

互异奇分拆数:。自然数 的部分数为奇数的互异分拆方法数。(Odd)

因此有:

同样也有相应的 部概念。由于过于复杂,不再列出。

五边形数定理

单独观察分拆数的生成函数的分母部分:

将这部分展开,可以想到互异分拆,与互异分拆拆出的部分数奇偶性有关。

具体地,互异偶部分拆在展开式中被正向计数,互异奇部分拆在展开式中被负向计数。因此展开式中各项系数为两方法数之差。即:

接下来说明,多数情况下,上述两方法数相等,在展开式中系数为 ;仅在少数位置,两方法数相差

这里可以借助构造对应的办法。

画出每个互异分拆的 Ferrers 图。最后一行称为这个图的底,底上点的个数记为 (Bottom);连接最上面一行的最后一个点与图中某点的最长 度角线段,称为这个图的坡,坡上点的个数记为 (Slide)。

要想在互异偶部分拆与互异奇部分拆之间构造对应,就要定义变换,在保证互异条件不变的前提下,使得行数改变

变换 A:当 小于等于 的时候,就将底移到右边,成为一个新坡。

变换 B:当 大于 的时候,就将坡移到下边,成为一个新底。

这两个变换,对于多数时候的 ,恰有一个变换可以进行,就在互异偶部分拆与互异奇部分拆之间构造了一个一一对应。已经构造了一一对应的两部分分拆个数相等,因此这时展开式中第 项系数为

变换 A 不能进行的条件:底与坡有一个公共点,且 。这种情形只发生于:

这时,展开式中第 项为:

变换 B 不能进行的条件:底与坡有一个公共点,且 。这种情形只发生于:

这时,展开式中第 项为:

至此,我们就证明了:

将这个式子整理,对比两边各项系数,就得到递推式。

这个递推式有无限项,但是如果规定负数的分拆数是 的分拆数已经定义为 ),那么就简化为了有限项。

例题

计算分拆数

计算分拆数 。多组输入,其中 上界为 ,对 取模。

采用五边形数定理的方法。有代码:

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#include <stdio.h>

long long a[100010];
long long p[50005];

int main() {
  p[0] = 1;
  p[1] = 1;
  p[2] = 2;
  int i;
  for (i = 1; i < 50005;
       i++) /*递推式系数1,2,5,7,12,15,22,26...i*(3*i-1)/2,i*(3*i+1)/2*/
  {
    a[2 * i] = i * (i * 3 - 1) / 2; /*五边形数为1,5,12,22...i*(3*i-1)/2*/
    a[2 * i + 1] = i * (i * 3 + 1) / 2;
  }
  for (
      i = 3; i < 50005;
      i++) /*p[n]=p[n-1]+p[n-2]-p[n-5]-p[n-7]+p[12]+p[15]-...+p[n-i*[3i-1]/2]+p[n-i*[3i+1]/2]*/
  {
    p[i] = 0;
    int j;
    for (j = 2; a[j] <= i; j++) /*有可能为负数,式中加1000007*/
    {
      if (j & 2) {
        p[i] = (p[i] + p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007;
      } else {
        p[i] = (p[i] - p[i - a[j]] + 1000007) % 1000007;
      }
    }
  }
  int n;
  while (~scanf("%d", &n)) {
    printf("%lld\n", p[n]);
  }
}

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