傅里叶-莫茨金消元法

简介

傅里叶 - 莫茨金消元法(原名 Fourier-Motzkin Elimination,简称 FME 算法)是一种用于从线性不等式中消除变量的数学方法。

它的命名源自于在 1827 年和 1936 年独立发现该算法的 Joseph Fourier 和 Theodore Motzkin 的姓氏。

消元步骤

从线性不等式中消除一组变量,是指通过将关系式中的若干个元素有限次地变换,消去其中的某些元素,从而解决问题的一种方法。

如果线性不等式中的所有变量都被消除,那么我们会得到一个常不等式。因为当且仅当原不等式有解时,消元后的不等式才为真,消除所有变量可用于检测不等式系统是否有解。

考虑一个含 n 个不等式的系统 S,有从 x_{1}x_{r}r 个变量,其中 x_{r} 为要消除的变量。根据 x_r 系数的符号(正、负或空),S 中的线性不等式可以分为三类:

  1. 形式为 x_{r}\geq b_{i}-\sum _{k=1}^{r-1}a_{ik}x_{k} 的不等式,对于范围从 1n_{A}n_{A} 为这种不等式的数量)的 j,用 x_{r}\geq A_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1}) 表示;
  2. 形式为 x_{r}\leq b_{i}-\sum _{k=1}^{r-1}a_{ik}x_{k} 的不等式,对于范围从 1n_{B}n_{B} 为这种不等式的数量)的 j,用 x_{r}\leq B_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1}) 表示;
  3. 不包含 x_{r} 的不等式,设它们构成的不等式组为 \phi

因此原系统等价于

\max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq x_{r}\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\wedge \phi

消元包括产生一个等价于 \exists x_{r}~S 的系统。显然,这个公式等价于

\max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\wedge \phi

不等式

\max(A_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,A_{n_{A}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))\leq \min(B_{1}(x_{1},\dots ,x_{r-1}),\dots ,B_{n_{B}}(x_{1},\dots ,x_{r-1}))

等价于对于 1 \leq i \leq n_{A}1\leq j\leq n_{B},所有 n_{A}n_{B} 个不等式 A_{i}(x_{1},\dots ,x_{r-1})\leq B_{j}(x_{1},\dots ,x_{r-1}) 构成的不等式组。

因此,我们将原系统 S 转换为另一个消掉 x_{r} 的系统,这个系统有 (n-n_{A}-n_{B})+n_{A}n_{B} 个不等式。特别地,如果 n_{A}=n_{B}=n/2,那么新系统不等式的个数为 n^{2}/4

例题

考虑以下不等式系统:

x \leq (10 + 5y - 4z)/2

x \leq (9 + 6y - 3z)/3

x \geq 7 + 5y - 2z

x \geq (-12 + 2y + 6z)/3

为了消除 x,我们可以根据 x 改写不等式:

x \leq (10 + 5y - 4z)/2

x \leq (9 + 6y - 3z)/3

x \geq 7 + 5y - 2z

x \geq (-12 + 2y + 6z)/3

这样我们得到两个 \leq 不等式和两个 \geq 不等式;如果每个 \leq 不等式的右侧至少是每个 \geq 不等式的右侧,则系统有一个解。我们有 2\times2 这样的组合:

7 + 5y - 2z \leq (10 + 5y - 4z)/2

7 + 5y - 2z \leq (9 + 6y - 3z)/3

(-12 + 2y + 6z)/3 \leq (10 + 5y - 4z)/2

(-12 + 2y + 6z)/3 \leq (9 + 6y - 3z)/3

现在我们有了一个新的少了一个变量不等式系统。

时间复杂度

n 个不等式上消元可以最多得到 n^{2}/4 个不等式,因此连续运行 d 步可以得到最多 4(n/4)^{2^{d}} 的双指数复杂度。这是由于算法产生了许多不必要的约束(其他约束隐含的约束)。必要约束的数量以单一指数增长。

可以使用线性规划 (Linear Programming, LP) 检测不必要的约束。

应用

信息论的可实现性证明保证了存在性能良好的编码方案的条件。这些条件通常使用线性不等式系统描述。系统的变量包括传输速率和附加辅助速率。通常,人们旨在仅根据问题的参数(即传输速率)来描述通信的基本限制,因此述辅助率需要消除上。而我们正是通过傅立叶 - 莫茨金消元法来做到这一点的。

实现

在编程语言中,Racket,一种基于 Lisp 的多范式编程语言在 fme - Fourier-Motzkin Elimination for Integer Systems) 中对 FME 算法做了简单函数代数实现。

参考资料与拓展阅读


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