符号
在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前,建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到,而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。
渐进符号¶
请参见 复杂度。
整除/同余理论常见符号¶
- 整除符号:x\mid y,表示 x 整除 y,即 x 是 y 的因数。
- 取模符号:x\bmod y,表示 x 除以 y 得到的余数。
- 互质符号:x\perp y,表示 x,y 互质。
- 最大公约数:\gcd(x,y),在无混淆意义的时侯可以写作 (x,y)。
- 最小公倍数:\operatorname{lcm}(x,y),在无混淆意义的时侯可以写作 [x,y]。
数论函数常见符号¶
求和符号:\sum 符号,表示满足特定条件的数的和。举几个例子:
- \sum_{i=1}^n i 表示 1+2+\dotsb+n 的和。其中 i 是一个变量,在求和符号的意义下 i 通常是 正整数或者非负整数(除非特殊说明)。这个式子的含义可以理解为,i 从 1 循环到 n,所有 i 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然,学过简单的组合数学的同学都知道 \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}。
- \sum_{S\subseteq T}|S| 表示所有被 T 包含的集合的大小的和。
- \sum_{p\le n,p\perp n}1 表示的是 n 以内有多少个与 n 互质的数,即 \varphi(n),\varphi 是欧拉函数。
求积符号:\prod 符号,表示满足特定条件的数的积。举几个例子:
- \prod_{i=1}^ni 表示 n 的阶乘,即 n!。在组合数学常见符号中会讲到。
- \prod_{i=1}^na_i 表示 a_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_n。
- \prod_{x|d}x 表示 d 的所有因数的乘积。
在行间公式中,求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面,这一点要注意。
其他常见符号¶
- 阶乘符号 !,n! 表示 1\times 2\times 3\times \dotsb \times n。特别地,0!=1。
- 向下取整符号:\lfloor x\rfloor,表示小于等于 x 的最大的整数。常用于分数,比如分数的向下取整 \left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor。
- 向上取整符号:\lceil x\rceil,与向下取整符号相对,表示大于等于 x 的最小的整数。
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