三维计算几何基础

三维几何的很多概念与 二维几何 是相通的,我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题。

基本概念

点,向量,直线这些概念和二维几何是相似的,这里不再展开。

平面

我们可以用平面上的一点 和该平面的法向量(即垂直于该平面的向量) 来表示一个平面。

因为 垂直于平面,所以 垂直于该平面内的所有直线。换句话说,设 ,则该平面上的点 都满足

根据向量点积的定义,上式等价于:

整理后得到:

,则上式变成 。我们称这个式子为平面的 一般式

基本操作

直线、平面之间的夹角

运用空间向量的知识,空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出。

对于两条异面直线 ,过空间中一点 ,作 ,则 所成的锐角或直角被称为 两条 异面直线所成的角

对于直线 和平面 ,若 相交于 ,过 上一点 引平面 的垂线交 ,则 所成的角被称为 直线与平面所成的角。特别地,若 ,则它们之间的夹角为

对于两个平面 ,它们的夹角被定义为与两条平面的交线 垂直的两条直线 (其中 )所成的角。

两直线夹角定义与关系充要条件

  • 两直线的方向向量的夹角,叫做两直线的夹角。

有了这个命题,我们就可以得出以下结论:已知两条直线 ,它们的方向向量分别是 ,设 为两直线夹角,我们可以得到 .

  • .

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角 )称为直线与平面的夹角。

设直线向量 ,平面法线向量 ,那么以下命题成立:

  • 角度的正弦值:

  • 直线与平面平行

  • 直线与平面垂直

点到平面的距离

直线与平面的交点

直接联立直线方程和平面方程即可。

立体几何定理

三正弦定理

设二面角 的度数为 ,在平面 上有一条射线 ,它和棱 所成角为 ,和平面 所成的角为 ,则

三余弦定理

为平面上一点,过平面外一点 的直线 在面上的射影为 为面上的一条直线,那么 三角的余弦关系为: 只能是锐角)。

参考资料与注释


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