群论简介
引入
在数学和抽象代数中,群论(Group Theory)主要研究叫做「群」的代数结构。
定义
在数学中,群(group)是由一种集合以及一个二元运算所组成的,符合「群公理」的代数结构。
一个群是一个集合
群公理包含下述四个性质(有时略去封闭性,只有三个性质)。若集合
- 封闭性:对于所有
中 ,运算 的结果也在 G 中。 - 结合律(associativity):对于
中所有的 ,等式 成立。 - 单位元(identity element,也称幺元):
中存在一个元素 ,使得对于 中的每一个元素 ,都有一个 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。 - 逆元(inverse element):对于每个
中的 ,总存在 中的一个元素 使 ,此处 为单位元,称 为 的逆元,记为 。
则称
群的衍生结构
- 若代数结构
满足封闭性、结合律性质,则称 为一个 半群(semigroup)。 - 若半群
还满足单位元性质,则称 为一个 幺半群(monoid)。 - 若群
还满足 交换律(commutativity):对于 中所有的 ,等式 成立。
则称 为一个 阿贝尔群(Abelian group),又称 交换群(commutative group)。
环
形式上,环(ring)是一个集合
构成交换群,其单位元记为 , 中元素 的加法逆元记为 。 构成半群。- 分配律(distributivity):对于
中所有的 ,等式 和 成立。
Warning
在有的定义中,环必须存在乘法单位元;相对地,不存在乘法单位元的则被称为 伪环(rng 或 pseudo-ring)。遇到的时候需根据上下文加以判断。
维基百科采用的就是这种定义:1
In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.
在抽象代数中,研究环的分支为 环论。
环的衍生结构
- 若环
上的乘法还满足交换律,则称 为 交换环(commutative ring)。 - 若环
存在乘法单位元 ,则称 为 幺环(ring with identity)。 - 若幺环
的所有非 元素 存在乘法逆元 ,则称 为 除环(division ring)。
域
域(field)是一个比环性质更强的代数结构,具体地,域是交换除环。
域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中,研究域的分支为 域论。
群的基本概念
定义
在研究集合时,我们使用子集(subset)、函数(function)和等价关系商(quotient by an equivalence relation)等概念。在研究群时,我们通过等价关系用子群(subgroup)、同态(homomorphism)和商群(quotient group)来代替。
群同态
群同态 是保持群结构的函数,可用于关联两个群。
从群
子群
子群:群
子群 是包含在更大的群
即,若
子群检验法(subgroup test)是群
陪集
陪集(coset)是一个群的子集,它包含通过将群的一个固定元素乘以给定子群的每个元素在右边或左边相乘以得到的所有乘积。
在许多情况下,两个群元素可能是等价的。例如,在正方形的对称群中,一旦进行了反射,仅靠旋转就不能使正方形回到原来的位置,所以可以认为正方形的反射位置相互等价,而不等价于未反射的位置;旋转操作与是否进行了反射无关。陪集被用来正式表达这个观点:一个子群
令
共轭
如果群中有一个元素
正规子群
正规子群(normal subgroup)是在共轭变换下不变的子群;换句话说,如果对于所有
生成子群
如果
商群
商群(quotient group)或因子群(factor group)是通过使用保留一些群结构的等价关系聚合更大群的相似元素获得的群。
在某些情况下,子群的陪集集可以被赋予群律,给出商群或因子群。为了使其成立,子群必须是正规子群(normal subgroup)。给定任何正规子群
阶
群
群
例如,群
拉格朗日定理:如果
证明的简要思路是:(左/右)陪集大小等于子群大小;而每个陪集要么不相交要么相等,且所有陪集的并是集合
由拉格朗日定理可立即得到:群中任意一个元素的阶,一定整除群的阶。
如果群
证明
显然,在
反证法。如果
有关阶的常见误区
- 群
的阶一定等于其中所有元素阶的最大值(或 )。
反例:二面体群 (相当于群 ,其中 表示异或)的阶是 ,但是除了 的阶为 ,其他元素的阶都是 。 - 如果群
中存在两个元素 、 的阶是 、 ,那么 中一定存在阶为 的元素。
反例:对称群 (相当于 的置换群)中存在阶为 和 的元素,却不存在阶为 的元素。
群的主要类别
置换群
置换群(Permutation group)是第一类被系统性研究的群。对给定的集合
循环群
循环群(cyclic group,记作
生成元
证明
记
设生成元
同样的,
阶为
证明
构造映射
矩阵群
矩阵群(Matrix group)或线性群(Linear group)是
矩阵群常见例子为 李群(Lie group)。
变换群
置换群和矩阵群是 变换群(Transformation group)的特例。
群作用于某个空间
抽象群
抽象群(Abstract group)通常通过生成器和关系来表示:
抽象群主要来源是通过正规子群
参考资料与注释
- Group (mathematics) - Wikipedia
- Group theory - Wikipedia
- Group - Wolfram MathWorld
- Visual Group Theory
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