Z 函数(扩展 KMP)
约定:字符串下标以 0 为起点。
对于个长度为 n 的字符串 s。定义函数 z[i] 表示 s 和 s[i,n-1](即以 s[i] 开头的后缀)的最长公共前缀(LCP)的长度。z 被称为 s 的 Z 函数。特别地,z[0] = 0。
国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm,而国内则称其为 扩展 KMP。
这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。
样例¶
下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数:
- z(\mathtt{aaaaa}) = [0, 4, 3, 2, 1]
- z(\mathtt{aaabaab}) = [0, 2, 1, 0, 2, 1, 0]
- z(\mathtt{abacaba}) = [0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]
朴素算法¶
Z 函数的朴素算法复杂度为 O(n^2):
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线性算法¶
如同大多数字符串主题所介绍的算法,其关键在于,运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数,使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态。
在该算法中,我们从 1 到 n-1 顺次计算 z[i] 的值(z[0]=0)。在计算 z[i] 的过程中,我们会利用已经计算好的 z[0],\ldots,z[i-1]。
对于 i,我们称区间 [i,i+z[i]-1] 是 i 的 匹配段,也可以叫 Z-box。
算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段。为了方便,记作 [l,r]。根据定义,s[l,r] 是 s 的前缀。在计算 z[i] 时我们保证 l\le i。初始时 l=r=0。
在计算 z[i] 的过程中:
- 如果 i\le r,那么根据 [l,r] 的定义有 s[i,r] = s[i-l,r-l],因此 z[i]\ge \min(z[i-l],r-i+1)。这时:
- 若 z[i-l] < r-i+1,则 z[i] = z[i-l]。
- 否则 z[i-l]\ge r-i+1,这时我们令 z[i] = r-i+1,然后暴力枚举下一个字符扩展 z[i] 直到不能扩展为止。
- 如果 i>r,那么我们直接按照朴素算法,从 s[i] 开始比较,暴力求出 z[i]。
- 在求出 z[i] 后,如果 i+z[i]-1>r,我们就需要更新 [l,r],即令 l=i, r=i+z[i]-1。
可以访问 这个网站 来看 Z 函数的模拟过程。
实现¶
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复杂度分析¶
对于内层 while
循环,每次执行都会使得 r 向后移至少 1 位,而 r< n-1,所以总共只会执行 n 次。
对于外层循环,只有一遍线性遍历。
总复杂度为 O(n)。
应用¶
我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用。
这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似。
匹配所有子串¶
为了避免混淆,我们将 t 称作 文本,将 p 称作 模式。所给出的问题是:寻找在文本 t 中模式 p 的所有出现(occurrence)。
为了解决该问题,我们构造一个新的字符串 s = p + \diamond + t,也即我们将 p 和 t 连接在一起,但是在中间放置了一个分割字符 \diamond(我们将如此选取 \diamond 使得其必定不出现在 p 和 t 中)。
首先计算 s 的 Z 函数。接下来,对于在区间 [0,|t| - 1] 中的任意 i,我们考虑以 t[i] 为开头的后缀在 s 中的 Z 函数值 k = z[i + |p| + 1]。如果 k = |p|,那么我们知道有一个 p 的出现位于 t 的第 i 个位置,否则没有 p 的出现位于 t 的第 i 个位置。
其时间复杂度(同时也是其空间复杂度)为 O(|t| + |p|)。
本质不同子串数¶
给定一个长度为 n 的字符串 s,计算 s 的本质不同子串的数目。
考虑计算增量,即在知道当前 s 的本质不同子串数的情况下,计算出在 s 末尾添加一个字符后的本质不同子串数。
令 k 为当前 s 的本质不同子串数。我们添加一个新的字符 c 至 s 的末尾。显然,会出现一些以 c 结尾的新的子串(以 c 结尾且之前未出现过的子串)。
设串 t 是 s + c 的反串(反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串)。我们的任务是计算有多少 t 的前缀未在 t 的其他地方出现。考虑计算 t 的 Z 函数并找到其最大值 z_{\max}。则 t 的长度小于等于 z_{\max} 的前缀的反串在 s 中是已经出现过的以 c 结尾的子串。
所以,将字符 c 添加至 s 后新出现的子串数目为 |t| - z_{\max}。
算法时间复杂度为 O(n^2)。
值得注意的是,我们可以用同样的方法在 O(n) 时间内,重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符(从尾或者头)后的本质不同子串数目。
字符串整周期¶
给定一个长度为 n 的字符串 s,找到其最短的整周期,即寻找一个最短的字符串 t,使得 s 可以被若干个 t 拼接而成的字符串表示。
考虑计算 s 的 Z 函数,则其整周期的长度为最小的 n 的因数 i,满足 i+z[i]=n。
该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样。
练习题目¶
- CF126B Password
- UVA # 455 Periodic Strings
- UVA # 11022 String Factoring
- UVa 11475 - Extend to Palindrome
- LA 6439 - Pasti Pas!
- Codechef - Chef and Strings
- Codeforces - Prefixes and Suffixes
本页面主要译自博文 Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。
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