Min_25 筛

定义

从此种筛法的思想方法来说，其又被称为「Extended Eratosthenes Sieve」。

由于其由 Min_25 发明并最早开始使用，故称「Min_25 筛」。

性质

其可以在 或 的时间复杂度下解决一类 积性函数 的前缀和问题。

要求： 是一个关于 的项数较少的多项式或可以快速求值； 可以快速求值。

记号

  • 如无特别说明，本节中所有记为 的变量的取值集合均为全体质数。
  • ，即 为质数时其值为 ，否则为 。
  • ：全体质数中第 小的质数（如：）。特别地，令 。
  • ，即 的最小质因数。特别地， 时，其值为 。

解释

观察 的定义，可以发现答案即为 。

考虑如何求出 。通过枚举每个 的最小质因子及其次数可以得到递推式：

最后一步推导基于这样一个事实：对于满足 的 ，有 ，故 。
其边界值即为 。

假设现在已经求出了所有的 ，那么有两种方式可以求出所有的 ：

  1. 直接按照递推式计算。
  2. 从大到小枚举 转移，仅当 时转移增加值不为零，故按照递推式后缀和优化即可。

现在考虑如何计算 。
观察求 的过程，容易发现 有且仅有 这 处的点值是有用的。
一般情况下， 是一个关于 的低次多项式，可以表示为 。
那么对于每个 ，其对 的贡献即为 。
分开考虑每个 的贡献，问题就转变为了：给定 ，对所有的 ，求 。

Notice： 是完全积性函数！

于是设 ，即埃筛第 轮筛完后剩下的数的 值之和。
对于一个合数 ，必定有 ，则 ，故只需筛到 即可。
考虑 的边界值，显然为 。（还记得吗？特别约定了 ）
对于转移，考虑埃筛的过程，分开讨论每部分的贡献，有：

  1. 对于 的部分， 值不变，即 。
  2. 对于 的部分，被筛掉的数必有质因子 ，即 。
  3. 对于第二部分，由于 ，故会有 的 被减去。这部分应当加回来，即 。

则有：

复杂度分析

对于 的计算，其第一种方法的时间复杂度被证明为 （见 zzt 集训队论文 2.3）；
对于第二种方法，其本质即为洲阁筛的第二部分，在洲阁论文中也有提及（6.5.4），其时间复杂度被证明为 。

对于 的计算，事实上，其实现与洲阁筛第一部分是相同的。
考虑对于每个 ，只有在枚举满足 的 转移时会对时间复杂度产生贡献，则时间复杂度可估计为：

对于空间复杂度，可以发现不论是 还是 ，其均只在 处取有效点值，共 个，仅记录有效值即可将空间复杂度优化至 。

首先，通过一次数论分块可以得到所有的有效值，用一个大小为 的数组 记录。对于有效值 ，记 为 在 中的下标，易得：对于所有有效值 ，。

然后分开考虑小于等于 的有效值和大于 的有效值：对于小于等于 的有效值 ，用一个数组 记录其 ，即 ；对于大于 的有效值 ，用一个数组 记录 ，由于 过大所以借助 记录 ，即 。

这样，就可以使用两个大小为 的数组记录所有有效值的 并 查询。在计算 或 时，使用有效值的 代替有效值作为下标，即可将空间复杂度优化至 。

过程

对于 的计算，我们实现时一般选择实现难度较低的第一种方法，其在数据规模较小时往往比第二种方法的表现要好；

对于 的计算，直接按递推式实现即可。

对于 ，可以用线性筛预处理出 来替代 递推式中的 。
相应地， 递推式中的 也可以用此方法预处理。

用 Extended Eratosthenes Sieve 求 积性函数 的前缀和时，应当明确以下几点：

  • 如何快速（一般是线性时间复杂度）筛出前 个 值；
  • 的多项式表示；
  • 如何快速求出 。

明确上述几点之后按顺序实现以下几部分即可：

  1. 筛出 内的质数与前 个 值；
  2. 对 多项式表示中的每一项筛出对应的 ，合并得到 的所有 个有用点值；
  3. 按照 的递推式实现递归，求出 。

例题

求莫比乌斯函数的前缀和

求 。

易知 。则 。
直接筛即可得到 的所有 个所需点值。

求欧拉函数的前缀和

求 。

首先易知 。
对于 的一次项 ，有 ；
对于 的常数项 ，有 。
筛两次加起来即可得到 的所有 个所需点值。

「LOJ #6053」简单的函数

给定 ：

易知 。则按照筛 的方法筛，对 讨论一下即可。
此处给出一种 C++ 实现：

参考代码 
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
 10
 11
 12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
 19
 20
 21
 22
 23
 24
 25
 26
 27
 28
 29
 30
 31
 32
 33
 34
 35
 36
 37
 38
 39
 40
 41
 42
 43
 44
 45
 46
 47
 48
 49
 50
 51
 52
 53
 54
 55
 56
 57
 58
 59
 60
 61
 62
 63
 64
 65
 66
 67
 68
 69
 70
 71
 72
 73
 74
 75
 76
 77
 78
 79
 80
 81
 82
 83
 84
 85
 86
 87
 88
 89
 90
 91
 92
 93
 94
 95
 96
 97
 98
 99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
/* 「LOJ #6053」简单的函数 */
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>

const int maxs = 200000;  // 2sqrt(n)
const int mod = 1000000007;

template <typename x_t, typename y_t>
inline void inc(x_t &x, const y_t &y) {
  x += y;
  (mod <= x) && (x -= mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
inline void dec(x_t &x, const y_t &y) {
  x -= y;
  (x < 0) && (x += mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
inline int sum(const x_t &x, const y_t &y) {
  return x + y < mod ? x + y : (x + y - mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
inline int sub(const x_t &x, const y_t &y) {
  return x < y ? x - y + mod : (x - y);
}

template <typename _Tp>
inline int div2(const _Tp &x) {
  return ((x & 1) ? x + mod : x) >> 1;
}

// 以上目的均为防负数和取模
template <typename _Tp>
inline long long sqrll(const _Tp &x) {  // 平方函数
  return (long long)x * x;
}

int pri[maxs / 7], lpf[maxs + 1], spri[maxs + 1], pcnt;

inline void sieve(const int &n) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (lpf[i] == 0) {  // 记录质数
      lpf[i] = ++pcnt;
      pri[lpf[i]] = i;
      spri[pcnt] = sum(spri[pcnt - 1], i);  // 前缀和
    }
    for (int j = 1, v; j <= lpf[i] && (v = i * pri[j]) <= n; ++j) lpf[v] = j;
  }
}

long long global_n;
int lim;
int le[maxs + 1],  // x <= \sqrt{n}
    ge[maxs + 1];  // x > \sqrt{n}
#define idx(v) (v <= lim ? le[v] : ge[global_n / v])

int G[maxs + 1][2], Fprime[maxs + 1];
long long lis[maxs + 1];
int cnt;

inline void init(const long long &n) {
  for (long long i = 1, j, v; i <= n; i = n / j + 1) {
    j = n / i;
    v = j % mod;
    lis[++cnt] = j;
    (j <= lim ? le[j] : ge[global_n / j]) = cnt;
    G[cnt][0] = sub(v, 1ll);
    G[cnt][1] = div2((long long)(v + 2ll) * (v - 1ll) % mod);
  }
}

inline void calcFprime() {
  for (int k = 1; k <= pcnt; ++k) {
    const int p = pri[k];
    const long long sqrp = sqrll(p);
    for (int i = 1; lis[i] >= sqrp; ++i) {
      const long long v = lis[i] / p;
      const int id = idx(v);
      dec(G[i][0], sub(G[id][0], k - 1));
      dec(G[i][1], (long long)p * sub(G[id][1], spri[k - 1]) % mod);
    }
  }
  /* F_prime = G_1 - G_0 */
  for (int i = 1; i <= cnt; ++i) Fprime[i] = sub(G[i][1], G[i][0]);
}

inline int f_p(const int &p, const int &c) {
  /* f(p^{c}) = p xor c */
  return p xor c;
}

int F(const int &k, const long long &n) {
  if (n < pri[k] || n <= 1) return 0;
  const int id = idx(n);
  long long ans = Fprime[id] - (spri[k - 1] - (k - 1));
  if (k == 1) ans += 2;
  for (int i = k; i <= pcnt && sqrll(pri[i]) <= n; ++i) {
    long long pw = pri[i], pw2 = sqrll(pw);
    for (int c = 1; pw2 <= n; ++c, pw = pw2, pw2 *= pri[i])
      ans +=
          ((long long)f_p(pri[i], c) * F(i + 1, n / pw) + f_p(pri[i], c + 1)) %
          mod;
  }
  return ans % mod;
}

int main() {
  scanf("%lld", &global_n);
  lim = sqrt(global_n);  // 上限

  sieve(lim + 1000);  // 预处理
  init(global_n);
  calcFprime();
  printf("%lld\n", (F(1, global_n) + 1ll + mod) % mod);

  return 0;
}
build本页面最近更新：2022/9/18 20:58:01，更新历史
edit发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
people本页面贡献者：Marcythm, StudyingFather, Xeonacid, Backl1ght, Enter-tainer, Great-designer, H-Shen, iamtwz, Ir1d, kenlig, Konano, MegaOwIer
copyright本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

评论