弧度制与坐标系
角的定义
在小学或初中已经学习过角的 静态定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
但是该定义将角度限制在了
在高中数学,讲了角的 动态定义:平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角。
开始的位置称为 始边,结束的位置称为 终边。并规定:
- 按 逆时针 方向旋转形成的角叫做 正角,其角度为正;
- 按 顺时针 方向旋转形成的角叫做 负角,其角度为负;
- 终边相对于始边没有做任何旋转的角叫做 零角,其角度为
。
这样就把角的概念推向了 任意角。
注意
零角始边和终边重合,但始边和终边重合的角并不都是零角,如以
弧度制
实际应用中经常有角度到各种参数的转换,而使用弧度制描述角可以减少系数的使用。所以接下来,介绍 弧度制:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为
根据前面的规定,正角的弧度为正,负角的弧度为负,零角的弧度为
利用这个公式还可以写出弧长和扇形面积公式,在此略过。
于是,
考虑一个角,将其终边再旋转一周,甚至多周,始边位置不动,那么终边位置永远是相同的,称这些角为终边位置相同的角。
与角
可以理解为:给这个角的边不停加转一圈,终边位置不变。
和 两个数学常数
目前西方数学界有一些观点认为,「真正的圆周率」应为
比如,在弧度制下,一个周角是
为了迎合中国各地区约定俗成的习惯,在 OI Wiki,采用参数
编程中圆周率的习惯写法
在 C/C++ 语言中,一般取 acos(-1)
,只有这个值是最接近 acos(-1)
或者 4 * atan(1)
写出来的
采用其他值,例如 acos(-1.0/2.0)
,acos(1.0/2.0)
,asin(1.0/2.0)
等等,写出来的
如果你背得下来,也可以直接写
平面直角坐标系
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系(Rectangular Coordinates)。
通常,两条数轴分别置于水平位置与垂直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做
平面直角坐标系下位置的描述
在平面直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序数对(即点的坐标(coordinates))与它对应;反过来,对于任意一个有序数对,都有平面上唯一的一点与它对应。
对于平面内任意一点
平面极坐标系
考虑实际情况,比如航海,说「点
这样:
- 在平面上选一定点
,称为 极点; - 自极点引出一条射线
,称为 极轴; - 选择一个单位长度(在数学问题中通常为
),一个角度单位(通常为弧度)及其正方向(通常为逆时针方向);
就建立了 极坐标系。
极坐标系下位置的描述
设
- 极点
与 之间的距离 称为 极径,记为 ; - 以极轴为始边,
为终边的角 称为 极角,记为 ;
那么有序数对
由终边相同的角的定义可知,
如果规定
平面直角坐标系与极坐标系的相互转换
当然,有时候研究极坐标系下的图形有些不方便。要想转到直角坐标系下研究,有互化公式。点
进而可知:
于是有
但具有相同
则
在 C/C++ 语言的 <math.h>
或 <cmath>
库里定义了 该函数,调用 atan2(y, x)
即可。
空间直角坐标系
使用如下方法建立空间直角坐标系:
- 在空间内选定一点
; - 过点
作三条互相垂直的数轴 ,分别称作 轴(横轴), 轴(纵轴), 轴(竖轴),统称为坐标轴;它们的正方向符合右手规则,即以右手握住 轴,当右手的四个手指 轴的正向以角度转向 轴正向时,大拇指的指向就是 轴的正向; - 设定各轴上的长度单位,通常都设为
。
这样就构成了一个空间直角坐标系,称为空间直角坐标系
任意两条坐标轴确定一个平面,这样可确定三个互相垂直的平面,统称为坐标面。其中
空间直角坐标系下位置的描述
取定空间直角坐标系
设点
反之,如果给定一个三元组
这样一来,空间的点
空间柱坐标系
空间柱坐标系,将极坐标扩展为三维的方式:从应用于平面工作中的极坐标系开始,然后过极点
为了找到由柱坐标
柱坐标系与空间直角坐标系的相互转换
两坐标系下
空间球坐标系
球坐标可以通过以下方法确定:
- 站在原点,面向水平极轴的方向;垂直轴的指向是从脚指向头部;
- 手臂向上,指向垂直极轴方向;
- 逆时针旋转角度
; - 将手臂向下旋转角度
,手臂指向 和 指定的方向; - 沿着该方向从原点移位距离
。
这样即可到达球坐标
Warning
由于诸多原因,有的地方使用
同时,在写文章时,如果用到了球坐标系,建议提前声明清楚使用什么符号表示天顶角和方位角。
柱坐标系与球坐标系的相互转换
两坐标系下
从柱坐标系到球坐标系:
注意对于柱坐标系下的点
从球坐标系到柱坐标系:
空间直角坐标系与球坐标系的相互转换
可以结合上文 平面直角坐标系与极坐标系的相互转换 和上文 柱坐标系与球坐标系的相互转换 一起使用,或直接使用下面的公式:
从空间直角坐标系到球坐标系:
其中
注意对于空间直角坐标系下的点
从球坐标系到空间直角坐标系:
本页面最近更新:2024/12/11 21:43:19,更新历史
发现错误?想一起完善? 在 GitHub 上编辑此页!
本页面贡献者:mxdyzmx, abc1763613206, aofall, CCXXXI, chieh2lu2, ChineseHamberger, Chrogeek, CoelacanthusHex, Great-designer, HeRaNO, Ir1d, Marcythm, megakite, opsiff, Persdre, shuzhouliu, Tiphereth-A, untitledunrevised, yanboishere
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供,附加条款亦可能应用