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快速傅里叶变换

前置知识：复数。

本文将介绍一种算法，它支持在 $O(n\log n)$ 的时间内计算两个 $n$ 度的多项式的乘法，比朴素的 $O(n^2)$ 算法更高效。由于两个整数的乘法也可以被当作多项式乘法，因此这个算法也可以用来加速大整数的乘法计算。

概述

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为 DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT 的频域采样。

FFT 是一种高效实现 DFT 的算法，称为 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。它对傅里叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。快速数论变换 (NTT) 是快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现。

在 1965 年，Cooley 和 Tukey 发表了快速傅里叶变换算法。事实上 FFT 早在这之前就被发现过了，但是在当时现代计算机并未问世，人们没有意识到 FFT 的重要性。一些调查者认为 FFT 是由 Runge 和 König 在 1924 年发现的。但事实上高斯早在 1805 年就发明了这个算法，但一直没有发表。

多项式的表示

系数表示法

系数表示法就是用一个多项式的各个项系数来表达这个多项式，即使用一个系数序列来表示多项式：

$$f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n}x^{n} \iff f(x) = \{a_0, a_1, \cdots,a_{n}\}$$

点值表示法

点值表示法是把这个多项式看成一个函数，从上面选取 $n+1$ 个点，从而利用这 $n+1$ 个点来唯一地表示这个函数。

为什么用 $n+1$ 个点就能唯一地表示这个函数

法 I：想一下高斯消元法，两点确定一条直线。再来一个点，能确定这个直线中的另一个参数，那么也就是说 $n+1$ 个点能确定 $n$ 个参数（不考虑倍数点之类的没用点）。

法 II：假设原命题错误，则我们可以找到两个不相等又有 $n + 1$ 个交点的函数 $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots + a_nx^n$ 和 $g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 + \cdots + b_nx^n$。我们令 $h(x) = f(x) - g(x)$，$h(x)$ 显然是一个 $n$ 次函数，且该函数与 $x$ 轴有 $n + 1$ 个交点，即 有 $n + 1$ 个根。根据代数基本定理，$h(x)$ 是 $n + 1$ 次函数，矛盾。原命题成立。

设

$$\begin{array}{c} f(x_0) = y_0 = a_0 + a_1x_0+a_2x_0^2+a_3x_0^3+ \cdots + a_nx_0^n\\ f(x_1) = y_1 = a_0 + a_1x_1+a_2x_1^2+a_3x_1^3+ \cdots + a_nx_1^n\\ f(x_2) = y_2 = a_0 + a_1x_2+a_2x_2^2+a_3x_2^3+ \cdots + a_nx_2^n\\ \vdots\\ f(x_{n}) = y_{n} = a_0 + a_1x_{n}+a_2x_{n}^2+a_3x_{n}^3+ \cdots + a_nx_{n}^n \end{array}$$

那么用点值表示法表示 $f(x)$ 如下

$$f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{n}x^{n} \iff f(x) = \{(x_0,y_0),(x_1,y_1), \cdots,(x_n,y_{n})\}$$

通俗地说，多项式由系数表示法转为点值表示法的过程，就是 DFT 的过程。相对地，把一个多项式的点值表示法转化为系数表示法的过程，就是 IDFT。而 FFT 就是通过取某些特殊的 $x$ 的点值来加速 DFT 和 IDFT 的过程。

单位复根

考虑这样一个问题：

DFT 是把多项式从系数表示转到了点值表示，那么我们把点值相乘之后，再还原成系数表示，就解决了我们的问题。上述过程如下：

假设我们 DFT 过程对于两个多项式选取的 $x$ 序列相同，那么可以得到

$$\begin{aligned} f(x)&={(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \cdots, (x_n, f(x_n))}\\ g(x)&={(x_0, g(x_0)), (x_1, g(x_1)), (x_2, g(x_2)), \cdots, (x_n, g(x_n))} \end{aligned}$$

如果我们设 $F(x) = f(x) \cdot g(x)$，那么容易得到 $F(x)$ 的点值表达式：

$$F(x) = \{(x_0, f(x_0)g(x_0)), (x_1, f(x_1)g(x_1)), (x_2, f(x_2)g(x_2)), \cdots, (x_n, f(x_n)g(x_n))\}$$

但是我们要的是系数表达式，接下来问题变成了从点值回到系数。如果我们带入到高斯消元法的方程组中去，会把复杂度变得非常高。光是计算 $x^i(0 \leq i \leq n)$ 就是 $n$ 项，这就已经 $O(n^2)$ 了，更别说还要把 $n+1$ 个方程进行消元……

因此我们不去计算 $x^i$。$1$ 和 $-1$ 的幂都很好算，但是仅仅有两个也不够，我们至少需要 $n+1$ 个。利用我们刚学的长度为 $1$ 的虚数，这些数不管怎么乘长度都是 $1$。我们需要的是 $\omega^k=1$ 中的 $\omega$，容易想到 $-i$ 和 $i$ 是符合的。除此以外：

观察上图，容易发现这是一个单位圆（圆心为原点，半径为 $1$），单位圆上的向量模长均为 $1$，根据复数的运算法则，两个复数相乘，在复平面上表示为两个向量模长相乘，辐角相加。因此两个模长为 $1$ 的向量相乘，得到的仍是模长为 $1$ 的向量，辐角为两个向量辐角的和。因此我们可以将 $\omega^k=1$ 中的 $\omega$ 理解为复平面上的一个单位向量，满足它的辐角的 $k$ 倍恰好是 $360^\circ$——即把圆周 $k$ 等分的角。我们把符合以上条件的复数（复平面上的向量）称为复根，用 $\omega$ 表示。

定义

严谨地，我们称 $x^n=1$ 在复数意义下的解是 $n$ 次复根。显然，这样的解有 $n$ 个，设 $\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$，则 $x^n=1$ 的解集表示为 $\{\omega_n^k\mid k=0,1\cdots,n-1\}$。我们称 $\omega_n$ 是 $n$ 次单位复根（the $n$-th root of unity）。根据复平面的知识，$n$ 次单位复根是复平面把单位圆 $n$ 等分的第一个角所对应的向量。其它复根均可以用单位复根的幂表示。

另一方面，根据欧拉公式，还可以得到 $\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$。

举个例子，当 $n=4$ 时，$\omega_n=i$，即 $i$ 就是 $4$ 次单位复根：

当 $n = 4$ 的时候，相当于把单位圆等分 $n=4$ 份。将每一份按照极角编号，那么我们只要知道 $\omega_4^1$（因为它的角度是相当于单位角度），就能知道 $\omega_4^0, \omega_4^1, \omega_4^2, \omega_4^3$。

$\omega_4^0$ 恒等于 $1$，$\omega_4^2$ 的角度是 $\omega_4^1$ 的两倍，所以 $\omega_4^2 = (\omega_4^1)^2 = i^2=-1$，依次以此类推。

性质

单位复根有三个重要的性质。对于任意正整数 $n$ 和整数 $k$：

$$\begin{aligned} \omega_n^n&=1\\ \omega_n^k&=\omega_{2n}^{2k}\\ \omega_{2n}^{k+n}&=-\omega_{2n}^k\\ \end{aligned}$$

快速傅里叶变换

FFT 算法的基本思想是分治。就 DFT 来说，它分治地来求当 $x=\omega_n^k$ 的时候 $f(x)$ 的值。它的分治思想体现在将多项式分为奇次项和偶次项处理。

举个例子，对于一共 $8$ 项的多项式

$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+a_7x^7$$

按照次数的奇偶来分成两组，然后右边提出来一个 $x$

$$\begin{aligned} f(x) &= (a_0+a_2x^2+a_4x^4+a_6x^6) + (a_1x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7)\\ &= (a_0+a_2x^2+a_4x^4+a_6x^6) + x(a_1+a_3x^2+a_5x^4+a_7x^6) \end{aligned}$$

分别用奇偶次次项数建立新的函数

$$\begin{aligned} G(x) &= a_0+a_2x+a_4x^2+a_6x^3\\ H(x) &= a_1+a_3x+a_5x^2+a_7x^3 \end{aligned}$$

那么原来的 $f(x)$ 用新函数表示为

$$f(x)=G\left(x^2\right) + x \times H\left(x^2\right)$$

利用单位复根的性质得到

$$\begin{aligned} \operatorname{DFT}(f(\omega_n^k)) &=\operatorname{DFT}(G((\omega_n^k)^2)) + \omega_n^k \times \operatorname{DFT}(H((\omega_n^k)^2))\\ &=\operatorname{DFT}(G(\omega_n^{2k})) + \omega_n^k \times \operatorname{DFT}(H(\omega_n^{2k}))\\ &=\operatorname{DFT}(G(\omega_{n/2}^k)) + \omega_n^k \times \operatorname{DFT}(H(\omega_{n/2}^k)) \end{aligned}$$

同理可得

$$\begin{aligned} \operatorname{DFT}(f(\omega_n^{k+n/2})) &=\operatorname{DFT}(G(\omega_n^{2k+n})) + \omega_n^{k+n/2} \times \operatorname{DFT}(H(\omega_n^{2k+n}))\\ &=\operatorname{DFT}(G(\omega_n^{2k})) - \omega_n^k \times \operatorname{DFT}(H(\omega_n^{2k}))\\ &=\operatorname{DFT}(G(\omega_{n/2}^k)) - \omega_n^k \times \operatorname{DFT}(H(\omega_{n/2}^k)) \end{aligned}$$

因此我们求出了 $\operatorname{DFT}(G(\omega_{n/2}^k))$ 和 $\operatorname{DFT}(H(\omega_{n/2}^k))$ 后，就可以同时求出 $\operatorname{DFT}(f(\omega_n^k))$ 和 $\operatorname{DFT}(f(\omega_n^{k+n/2}))$。于是对 $G$ 和 $H$ 分别递归 DFT 即可。

考虑到分治 DFT 能处理的多项式长度只能是 $2^m(m \in N^ \ast )$，否则在分治的时候左右不一样长，右边就取不到系数了。所以要在第一次 DFT 之前就把序列向上补成长度为 $2^m(m \in N^\ast )$（高次系数补 $0$）、最高项次数为 $2^m-1$ 的多项式。

在代入值的时候，因为要代入 $n$ 个不同值，所以我们代入 $\omega_n^0,\omega_n^1,\omega_n^2,\cdots, \omega_n^{n-1} (n=2^m(m \in N^ \ast ))$ 一共 $2^m$ 个不同值。

代码实现方面，STL 提供了复数的模板，当然也可以手动实现。两者区别在于，使用 STL 的 complex 可以调用 exp 函数求出 $\omega_n$。但事实上使用欧拉公式得到的虚数来求 $\omega_n$ 也是等价的。

递归版 FFT

#include <cmath>
#include <complex>

typedef std::complex<double> Comp;  // STL complex

const Comp I(0, 1);  // i
const int MAX_N = 1 << 20;

Comp tmp[MAX_N];

void DFT(Comp *f, int n, int rev) {  // rev=1,DFT; rev=-1,IDFT
  if (n == 1) return;
  for (int i = 0; i < n; ++i) tmp[i] = f[i];
  for (int i = 0; i < n; ++i) {  // 偶数放左边，奇数放右边
    if (i & 1)
      f[n / 2 + i / 2] = tmp[i];
    else
      f[i / 2] = tmp[i];
  }
  Comp *g = f, *h = f + n / 2;
  DFT(g, n / 2, rev), DFT(h, n / 2, rev);  // 递归 DFT
  Comp cur(1, 0), step(cos(2 * M_PI / n), sin(2 * M_PI * rev / n));
  // Comp step=exp(I*(2*M_PI/n*rev)); // 两个 step 定义是等价的
  for (int k = 0; k < n / 2; ++k) {
    tmp[k] = g[k] + cur * h[k];
    tmp[k + n / 2] = g[k] - cur * h[k];
    cur *= step;
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) f[i] = tmp[i];
}

时间复杂度 $O(n\log n)$。

位逆序置换

这个算法还可以从“分治”的角度继续优化。我们每一次都会把整个多项式的奇数次项和偶数次项系数分开，一直分到只剩下一个系数。但是，这个递归的过程需要更多的内存。因此，我们可以先“模仿递归”把这些系数在原数组中“拆分”，然后再“倍增”地去合并这些算出来的值。

以 $8$ 项多项式为例，模拟拆分的过程：

• 初始序列为 $\{x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$
• 一次二分之后 $\{x_0, x_2, x_4, x_6\},\{x_1, x_3, x_5, x_7 \}$
• 两次二分之后 $\{x_0,x_4\} \{x_2, x_6\},\{x_1, x_5\},\{x_3, x_7 \}$
• 三次二分之后 $\{x_0\}\{x_4\}\{x_2\}\{x_6\}\{x_1\}\{x_5\}\{x_3\}\{x_7 \}$

规律：其实就是原来的那个序列，每个数用二进制表示，然后把二进制翻转对称一下，就是最终那个位置的下标。比如 $x_1$ 是 001，翻转是 100，也就是 4，而且最后那个位置确实是 4。我们称这个变换为位逆序置换（bit-reversal permutation，国内也称蝴蝶变换）。

根据它的定义，我们可以在 $O(n\log n)$ 的时间内求出每个数变换后的结果：

位逆序变换实现（$O(n\log n)$）

/*
 * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
 * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
 *len 必须为 2 的幂
 */
void change(Complex y[], int len) {
  int i, j, k;
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) swap(y[i], y[j]);
    // 交换互为小标反转的元素，i<j 保证交换一次
    // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的
    k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j = j - k;
      k = k / 2;
    }
    if (j < k) j += k;
  }
}

实际上，位逆序变换可以 $O(n)$ 从小到大递推实现，设 $len=2^k$，其中 $k$ 表示二进制数的长度，设 $R(x)$ 表示长度为 $k$ 的二进制数 $x$ 翻转后的数（高位补 $0$）。我们要求的是 $R(0),R(1),\cdots,R(n-1)$。

首先 $R(0)=0$。

我们从小到大求 $R(x)$。因此在求 $R(x)$ 时，$R\left(\left\lfloor \dfrac{x}{2} \right\rfloor\right)$ 的值是已知的。因此我们把 $x$ 右移一位（除以 $2$），然后取反，再右移一位，就得到了 $x$ 除了（二进制）个位 之外其它位的翻转结果。

考虑个位的翻转结果：如果个位是 $0$，翻转之后最高位就是 $0$。如果个位是 $1$，则翻转后最高位是 $1$，因此还要加上 $\dfrac{len}{2}=2^{k-1}$。综上

$$R(x)=\left\lfloor \frac{R\left(\left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor\right)}{2} \right\rfloor + (x\bmod 2)\times \frac{len}{2}$$

举个例子：设 $k=5$，$len=(100000)_2$。为了翻转 $(11001)_2$：

1. 考虑 $(1100)_2$，我们知道 $R((1100)_2)=R((01100)_2)=(00110)_2$，再右移一位就得到了 $(00011)_2$。
2. 考虑个位，如果是 $1$，它就要翻转到数的最高位，即翻转数加上 $(10000)_2=2^{k-1}$，如果是 $0$ 则不用更改。

位逆序变换实现（$O(n)$）

// 同样需要保证 len 是 2 的幂
// 记 rev[i] 为 i 翻转后的值
void change(Complex y[], int len) {
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
    if (i & 1) {  // 如果最后一位是 1，则翻转成 len/2
      rev[i] |= len >> 1;
    }
  }
  for (int i = 0; i < len; ++i) {
    if (i < rev[i]) {  // 保证每对数只翻转一次
      swap(y[i], y[rev[i]]);
    }
  }
  return;
}

快速傅里叶逆变换

傅里叶逆变换可以用傅里叶变换表示。对此我们有两种理解方式。

线性代数角度

IDFT（傅里叶反变换）的作用，是把目标多项式的点值形式转换成系数形式。而 DFT 本身是个线性变换，可以理解为将目标多项式当作向量，左乘一个矩阵得到变换后的向量，以模拟把单位复根代入多项式的过程：

$$\begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \vdots \\ y_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \omega_n^3 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\ 1 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \omega_n^6 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\ 1 & \omega_n^3 & \omega_n^6 & \omega_n^9 & \cdots & \omega_n^{3(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \omega_n^{3(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}$$

现在我们已经得到最左边的结果了，中间的 $x$ 值在目标多项式的点值表示中也是一一对应的，所以，根据矩阵的基础知识，我们只要在式子两边左乘中间那个大矩阵的逆矩阵就行了。由于这个矩阵的元素非常特殊，它的逆矩阵也有特殊的性质，就是每一项取倒数，再除以 $n$，就能得到它的逆矩阵。

为了使计算的结果为原来的倒数，根据单位复根的性质并结合欧拉公式，可以得到

$$\frac{1}{\omega_k}=\omega_k^{-1}=e^{-\frac{2\pi i}{k}}=\cos\left(\frac{2\pi}{k}\right)+i\cdot \sin\left(-\frac{2\pi}{k}\right)$$

因此我们可以尝试着把单位根 $\omega_k$ 取成 $e^{-\frac{2\pi i}{k}}$，这样我们的计算结果就会变成原来的倒数，而其它的操作过程与 DFT 是完全相同的。我们可以定义一个函数，在里面加一个参数 $1$ 或者是 $-1$，然后把它乘到 $\pi$ 上。传入 $1$ 就是 DFT，传入 $-1$ 就是 IDFT。

单位复根周期性

利用单位复根的周期性同样可以理解 IDFT 与 DFT 之间的关系。

考虑原本的多项式是 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$。而 IDFT 就是把你的点值表示还原为系数表示。

考虑 构造法。我们已知 $y_i=f\left( \omega_n^i \right),i\in\{0,1,\cdots,n-1\}$，求 $\{a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\}$。构造多项式如下

$$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}y_ix^i$$

相当于把 $\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}$ 当做多项式 $A$ 的系数表示法。

这时我们有两种推导方式，这对应了两种实现方法。

方法一

设 $b_i=\omega_n^{-i}$，则多项式 $A$ 在 $x=b_0,b_1,\cdots,b_{n-1}$ 处的点值表示法为 $\left\{ A(b_0),A(b_1),\cdots,A(b_{n-1}) \right\}$。

对 $A(x)$ 的定义式做一下变换，可以将 $A(b_k)$ 表示为

$$\begin{aligned} A(b_k)&=\sum_{i=0}^{n-1}f(\omega_n^i)\omega_n^{-ik}=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{-ik}\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^{j}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}a_j\omega_n^{i(j-k)}=\sum_{j=0}^{n-1}a_j\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^{j-k}\right)^i\\ \end{aligned}$$

记 $S\left(\omega_n^a\right)=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^a\right)^i$。

当 $a=0 \pmod{n}$ 时，$S\left(\omega_n^a\right)=n$。

当 $a\neq 0 \pmod{n}$ 时，我们错位相减

$$\begin{aligned} S\left(\omega_n^a\right)&=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\omega_n^a\right)^i\\ \omega_n^a S\left(\omega_n^a\right)&=\sum_{i=1}^{n}\left(\omega_n^a\right)^i\\ S\left(\omega_n^a\right)&=\frac{\left(\omega_n^a\right)^n-\left(\omega_n^a\right)^0}{\omega_n^a-1}=0\\ \end{aligned}$$

也就是说

$$S\left(\omega_n^a\right)= \left\{\begin{aligned} n,a=0\\ 0,a\neq 0 \end{aligned}\right.$$

那么代回原式

$$A(b_k)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jS\left(\omega_n^{j-k}\right)=a_k\cdot n$$

也就是说给定点 $b_i=\omega_n^{-i}$，则 $A$ 的点值表示法为

$$\begin{aligned} &\left\{ (b_0,A(b_0)),(b_1,A(b_1)),\cdots,(b_{n-1},A(b_{n-1})) \right\}\\ =&\left\{ (b_0,a_0\cdot n),(b_1,a_1\cdot n),\cdots,(b_{n-1},a_{n-1}\cdot n) \right\} \end{aligned}$$

综上所述，我们取单位根为其倒数，对 $\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}$ 跑一遍 FFT，然后除以 $n$ 即可得到 $f(x)$ 的系数表示。

方法二

我们直接将 $\omega_n^i$ 代入 $A(x)$。

推导的过程与方法一大同小异，最终我们得到 $A(\omega_n^k) = \sum_{j=0}^{n-1}a_jS\left(\omega_n^{j+k}\right)$。

当且仅当 $j+k=0 \pmod{n}$ 时有 $S\left(\omega_n^{j+k}\right) = n$，否则为 $0$。因此 $A(\omega_n^k) = a_{n-k}\cdot n$。

这意味着我们将 $\{y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{n-1}\}$ 做 DFT 变换后除以 $n$，再反转后 $n - 1$ 个元素，同样可以还原 $f(x)$ 的系数表示。

代码实现

所以我们 FFT 函数可以集 DFT 和 IDFT 于一身。代码实现如下：

非递归版 FFT（对应方法一）

/*
 * 做 FFT
 * len 必须是 2^k 形式
 * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {                  // 模拟合并过程
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));  // 计算当前单位复根
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);  // 计算当前单位复根
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;  // 这就是把两部分分治的结果加起来
        y[k + h / 2] = u - t;
        // 后半个 “step” 中的ω一定和 “前半个” 中的成相反数
        // “红圈”上的点转一整圈“转回来”，转半圈正好转成相反数
        // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

非递归版 FFT（对应方法二）

/*
 * 做 FFT
 * len 必须是 2^k 形式
 * on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {             // 模拟合并过程
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(2 * PI / h));  // 计算当前单位复根
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);  // 计算当前单位复根
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;  // 这就是把两部分分治的结果加起来
        y[k + h / 2] = u - t;
        // 后半个 “step” 中的ω一定和 “前半个” 中的成相反数
        // “红圈”上的点转一整圈“转回来”，转半圈正好转成相反数
        // 一个数相反数的平方与这个数自身的平方相等
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    reverse(y + 1, y + len);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

FFT 模板

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);

struct Complex {
  double x, y;

  Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {
    x = _x;
    y = _y;
  }

  Complex operator-(const Complex &b) const {
    return Complex(x - b.x, y - b.y);
  }

  Complex operator+(const Complex &b) const {
    return Complex(x + b.x, y + b.y);
  }

  Complex operator*(const Complex &b) const {
    return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
  }
};

/*
 * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
 * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
 *len 必须为 2 的幂
 */
void change(Complex y[], int len) {
  int i, j, k;
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) swap(y[i], y[j]);
    // 交换互为小标反转的元素，i<j 保证交换一次
    // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的
    k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j = j - k;
      k = k / 2;
    }
    if (j < k) j += k;
  }
}

/*
 * 做 FFT
 *len 必须是 2^k 形式
 *on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;
        y[k + h / 2] = u - t;
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

const int MAXN = 200020;
Complex x1[MAXN], x2[MAXN];
char str1[MAXN / 2], str2[MAXN / 2];
int sum[MAXN];

int main() {
  while (scanf("%s%s", str1, str2) == 2) {
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    int len = 1;
    while (len < len1 * 2 || len < len2 * 2) len *= 2;
    for (int i = 0; i < len1; i++) x1[i] = Complex(str1[len1 - 1 - i] - '0', 0);
    for (int i = len1; i < len; i++) x1[i] = Complex(0, 0);
    for (int i = 0; i < len2; i++) x2[i] = Complex(str2[len2 - 1 - i] - '0', 0);
    for (int i = len2; i < len; i++) x2[i] = Complex(0, 0);
    fft(x1, len, 1);
    fft(x2, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];
    fft(x1, len, -1);
    for (int i = 0; i < len; i++) sum[i] = int(x1[i].x + 0.5);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      sum[i + 1] += sum[i] / 10;
      sum[i] %= 10;
    }
    len = len1 + len2 - 1;
    while (sum[len] == 0 && len > 0) len--;
    for (int i = len; i >= 0; i--) printf("%c", sum[i] + '0');
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

// 加油加油！

FFT 模板 三次转两次优化（ 「Luogu P1919」【模板】A*B Problem 升级版 ）

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const double PI = acos(-1.0);

struct Complex {
  double x, y;

  Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0) {
    x = _x;
    y = _y;
  }

  Complex operator-(const Complex &b) const {
    return Complex(x - b.x, y - b.y);
  }

  Complex operator+(const Complex &b) const {
    return Complex(x + b.x, y + b.y);
  }

  Complex operator*(const Complex &b) const {
    return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
  }
};

/*
 * 进行 FFT 和 IFFT 前的反置变换
 * 位置 i 和 i 的二进制反转后的位置互换
 *len 必须为 2 的幂
 */
void change(Complex y[], int len) {
  int i, j, k;
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) swap(y[i], y[j]);
    // 交换互为小标反转的元素，i<j 保证交换一次
    // i 做正常的 + 1，j 做反转类型的 + 1，始终保持 i 和 j 是反转的
    k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j = j - k;
      k = k / 2;
    }
    if (j < k) j += k;
  }
}

/*
 * 做 FFT
 *len 必须是 2^k 形式
 *on == 1 时是 DFT，on == -1 时是 IDFT
 */
void fft(Complex y[], int len, int on) {
  change(y, len);
  for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
    Complex wn(cos(2 * PI / h), sin(on * 2 * PI / h));
    for (int j = 0; j < len; j += h) {
      Complex w(1, 0);
      for (int k = j; k < j + h / 2; k++) {
        Complex u = y[k];
        Complex t = w * y[k + h / 2];
        y[k] = u + t;
        y[k + h / 2] = u - t;
        w = w * wn;
      }
    }
  }
  if (on == -1) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      y[i].x /= len;
    }
  }
}

const int MAXN = 200020;
Complex x1[MAXN], x2[MAXN];
char str1[MAXN / 2], str2[MAXN / 2];
int sum[MAXN];

int main() {
  while (scanf("%s%s", str1, str2) == 2) {
    int len1 = strlen(str1);
    int len2 = strlen(str2);
    int len = 1;
    while (len < len1 * 2 || len < len2 * 2) len *= 2;
    // a * b 三次变两次优化
    // 适用于将两个多项式乘法中的三次FFT变成两次
    // 原理是：(a+bi)^2= (a^2-b^2) + 2abi
    // FFT系数转点值乘法 转系数之后虚部除以2（乘0.5/len）即是结果
    for (int i = 0; i < len1 && i < len2; i++)
      x1[i] = Complex(str1[len1 - 1 - i] - '0', str2[len2 - 1 - i] - '0');
    if (len1 >= len2)
      for (int i = len2; i < len1; i++)
        x1[i] = Complex(str1[len1 - 1 - i] - '0', 0);
    else
      for (int i = len1; i < len2; i++)
        x1[i] = Complex(0, str2[len2 - 1 - i] - '0');
    for (int i = max(len1, len2); i < len; i++) x1[i] = Complex(0, 0);
    fft(x1, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) x1[i] = x1[i] * x1[i];
    fft(x1, len, -1);
    double ilen = 0.5 / len;
    // 除len是因为IDFT(第64行)的时候没有处理虚部
    for (int i = 0; i < len; i++) sum[i] = int(x1[i].y * ilen + 0.5);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
      sum[i + 1] += sum[i] / 10;
      sum[i] %= 10;
    }
    len = len1 + len2 - 1;
    while (sum[len] == 0 && len > 0) len--;
    for (int i = len; i >= 0; i--) printf("%c", sum[i] + '0');
    printf("\n");
  }
  return 0;
}

// 加油加油！

快速数论变换

若要计算的多项式系数是别的具有特殊意义的整数，那么 FFT 全部用浮点数运算，从时间上比整数运算慢，且只能用 long double 类型。

要应用数论变化从而避开浮点运算精度问题，参见 快速数论变换。

参考文献

1. 桃酱的算法笔记.

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