二次域

二次有理数

定义

二次有理数:整系数一元二次方程的解。

用词说明

在初等数论书上,「二次有理数」写为「二次无理数」。这是因为,二次有理数不是有理数,而是无理数。在近世代数书上,写为「二次有理数」或者「二次代数数」,表明它与有理数拥有相似的性质。

同样地,还有「二次整数」。二次整数不是整数。「二次有理数」一词与「二次整数」相对应,与有理数和整数的关系完全一致,有理数是整数的比值。

二次有理数有以下的表示法,一定可以写成:

其中, 为有理数, 为整数。任意这种形式的数都是二次有理数,两者为一一对应。

若 d 为正,集合中所有数均为实数,称为实二次整环或者实二次域。若 d 为负,集合中除了一般的有理数以外全部不是实数,称为虚二次整环或虚二次域。

范数

对于同一个整系数二次方程,有两个根。如果它们不是一般的有理数,那么它们在形式上只在二次根号前相差一个正负号。

如果两个二次有理数只在二次根号之前相差正负号,称它们互为 共轭 关系。因为一般的有理数在二次根号前面的系数是 0,因此一般的有理数与它自身为共轭关系。

显然,在虚二次域中,某数的共轭的概念,与复数共轭的概念一致。但是在实二次域中这两个概念不一致。

在二次域中,由加减乘除(非 0)四则运算产生的等式,无法区分共轭关系。也就是说,在等式中将每一个数换成它的共轭数,即将每一个二次根号的符号改变,等式仍然成立。

二次有理数与它的共轭的和称为 。某数的迹就是它的有理数部分的 2 倍,形式简单,因此很少研究迹。

二次有理数与它的共轭的积称为 范数

显然,在虚二次域中,范数的概念,与复数的模的平方的概念一致。但是在实二次域中这两个概念不一致。由于 d 不含平方因子,不可能是平方数,因此只有 0 的范数是 0。

范数具有保持乘法和除法(非 0)的良好性质。

一个二次有理数与它的共轭相乘为这个数的范数,因此它的倒数就是它的共轭与范数之比。

二次整数

首项系数为 1 的整系数二次多项式 的零点是:

称为“含有根号 d 的二次整数”,全体记作二次整环 ,对于加减乘封闭。不同的 d 对应于不同的整环。普通的整数环是每一个二次整环的理想。

第一种情况:对于所有的 d, 一定是二次整数。

第二种情况:当 d 模 4 余 1,a 与 b 是奇数的时候, 也是二次整数。因为这种情况也是首系数为 1 的整系数多项式的零点:

奇数的一半称半整数。两个半整数配上除以 4 余 1 的 d 开二次根号,也是二次整数。

以上的 d 全部可正可负。当 d 为正时就是普通意义的二次根号,当 d 为负的时候可以理解成对绝对值开根号,并乘以虚数单位 i。

二次整数有两个线性无关的分量,因此二次整数是二维的。

同类二次整数的比是二次有理数。

单位数

如果一个二次整数的倒数还是二次整数,称这个二次整数为 单位数。二次整数是单位数的充要条件是它的范数为 1 或 - 1。

单位数对于乘法封闭,构成单位群。有一个核心位置的定理(证明极难):

狄利克雷单位定理:数域的单位群是有限生成阿贝尔群。

狄利克雷单位定理表明:单位群维数有限,存在一组基。所有的单位数可以由基的乘积表示。这组基(不含 1 和 - 1)称为 基本单位数

三种整环

有三种整环的概念:

Euclid 整环:满足 辗转相除法 的整环。

主理想整环:每一个理想都是主理想的整环。一个重要的性质是,它满足 Bezout 定理

唯一分解整环:每个元素的非相伴分解都唯一的整环,满足 唯一分解定理

三个概念是层层嵌套包含的关系,唯一分解整环在最外面,欧几里得整环在最里面。欧几里得整环一定是主理想整环,主理想整环一定是唯一分解整环,而反之则不然。因此三个定理也有层层递推的关系。

虽然唯一分解整环不一定是主理想整环,例如在取模多项式整环中可以找到反例,但是在二次域中,这两个概念是重合的,即二次域的主理想整环与唯一分解整环范畴重合。因此,二次域只分为辗转相除和唯一分解两种特殊情形。

在虚二次域中,只有 - 1、-2、-3、-7 和 - 11 对应的虚二次整环是 Euclid 整环,其余均不满足辗转相除法。

在实二次域中,只有 2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57 和 73,共 16 个整环是 Euclid 整环。

对于二次域,有很重要的概念叫类数。理想的全体除以理想构成的群,得到商群的大小就称为类数。类数为 1,说明相应的整环是主理想整环。

Gauss 猜想有无穷个类数为 1 的实二次域,这个问题至今没有得到解决——关于实二次域的大多数此类研究进展都很慢。

已经得到解决的是,虚二次域中,加上上面的 5 个,只有 - 19、-43、-67 和 - 163 也是主理想整环。

好在之前的嵌套关系成立。我们只需知道高斯整环(-1)和艾森斯坦整环(-3)都是 Euclid 整环,满足辗转相除法和唯一分解定理就够了。

参见 OEIS:

Squarefree values of n for which the quadratic field Q(sqrt(n)) is norm-Euclidean

Q(sqrt(n)) is a unique factorization domain (or simple quadratic field)

相伴与唯一分解

如果一个二次整数乘一个单位数得到另一个二次整数,那么这两个二次整数是 相伴 关系。

唯一分解定理一定要考虑相伴关系才有可能成立。例如,若不考虑相伴关系,由于 - 1 是单位数,整数不满足唯一分解:

我们必须在相伴这个等价关系构成的诸多等价类中,为每个类指定一个数作为这个类的代表,即定义 本原数,才可能有唯一分解。

例如在上面的例子中,如果指定 2 和 5 为本原数,那么 - 2 和 - 5 就不是本原数,此时 10 的分解才变得唯一了。

本原数的规定是人为的,即如果定义 - 2 和 5、2 和 - 5 或者 - 2 和 - 5 为本原数,在唯一分解的角度不会引起矛盾。一般会根据实际问题的研究方便定义本原数。例如,如果我们习惯于在正整数范畴研究问题,那么将正整数定义为本原数即可。

我们看到,事实上只需为所有的素数(在唯一分解前提下与不可约数等价)定义本原数就够了,其他的非素数的本原数定义必然由素数的本原数定义合成。

狄利克雷特征

讲述虚二次域的相关内容,需要先讲讲有关特征的概念。

定义:对于正整数 是定义在全体整数集合上不恒为 的数论函数。如果满足条件:

不互素时取值为 ,当

周期为

完全积性:对于任意整数 ,有

那么, 称为模 的狄利克雷特征,简称模 的特征,可以记作

根据上述定义,可以直接推出:

处取值为

处取值为

互素时取值:当 时,

即,当自变量 与模数 互素时,模 的特征只能取 次单位根,值域有限,因此模 的特征的个数也有限。

显然,当 时, 恒取值为 的数论函数一定是模 的特征,称为模 的主特征,记作 。模 和模 只有主特征。

一个特征,如果只取实数值(即取值为 ),称为实特征。模 和模 的特征都是实特征。

能取到非实数值得特征称为复特征。两个模 的特征,如果取值在复数域上共轭,称为共轭特征。实特征的共轭特征为本身。共轭特征的乘积为主特征。模 的全体特征的共轭仍旧为模 的全体特征。

关于特征,有如下一些定理:

定理:设 ,那么一定存在唯一的模 的特征 ,使得当 时,

定理:设 ,那么一定存在唯一的模 的特征 以及模 的特征 ,使得对于任意整数 ,有:

根据这个定理,特征可以随着模数的分解而分解,因此只需研究模为素数幂的特征即可。

对于奇素数的幂 ,存在原根 ,特征完全由它在原根 上的取值唯一确定。特征在原根 上可能的取值有:

因此在模 情形下至多有 个不同的特征。根据原根对数的性质,上述特征在 不同时不同。因此,模 的特征恰好有 个。

标记顺序以作为区分:当 时,取定模 的原根 ,则有

该式唯一确定一个模 的特征。并且,当且仅当 时为主特征,当且仅当 时为实特征。

同样,根据模 的性质可以证明,模 的特征恰好有 个。综上就有模 的特征恰好有 个。

可以证明,模 的特征的乘法群,与模 的缩剩余系的乘法群同构。

定理:设 是不为 的正整数, 不同余,那么一定存在模 的一个非主特征 ,使得 不为

类似于本原单位根,也有原特征的概念。模 的原特征的取值的最小正周期为 ,否则为非原特征。非原特征的最小正周期整除

二次剩余符号 是模 的实特征。

的非主特征只有 ,模 的非主特征只有

二次域

具有同样 的二次有理数的全体,构成一个集合,记作

容易证明,集合 对于加、减、乘、除封闭,即任意取出两个元素,都可以进行四种运算(保证除数非 0),并且结果也在集合中。因此,它是一个域,称为 的二次域。

在有理数域上线性无关,所以在同一个二次域中,二次有理数的表示法具有唯一性。如果有:

那么有:

共轭定理:在同一个二次域中,如果一个等式仅经过有限次合法四则运算构成,那么对等式两边所有数同时取共轭,等式仍然成立。

证明:取共轭后的新的等式左右两边,结果一定仍然在该二次域中。只需证明它们对应的有理系数和无理系数相等。

无论如何,系数都与根号 d 的整体无关,取共轭只是将根号 d 换成了负根号 d,从头到尾只用到“平方等于 d”一个性质,因此,对应系数相等。

拓展

二次域 中的四则运算与一类特殊形式的二阶方阵同构:

比如,乘法的行为模式完全一致:

因此二次有理数的一些性质可以由二阶方阵来解释。比如,范数恰好就是它的行列式:

求倒数也就与伴随方阵求逆法一致。伴随方阵恰好就是它的共轭:

这种二阶方阵的记法参考了二维坐标系的旋转矩阵:

二维坐标系的旋转矩阵的行为模式就像 的特殊数域一样。

关于实二次域的相关研究,可以参见连分数和佩尔方程的部分。

虚二次域

在虚二次域中,仅当 d 为 - 1 和 - 3 的时候,存在除了 1 和 - 1 以外的单位数。当 d 为负数且不为 - 1 或 - 3 的时候,单位数只有 1 和 - 1。

当 d 为 - 1 的时候,单位数有 4 个:1,-1,i,-i。当 d 为 - 3 的时候,单位数有 6 个:1,-1,

在虚二次域中,仅当 d 为 - 1 和 - 3 时,存在基本单位数 i 和 。其他情况不存在 1 和 - 1 以外的其他单位数,也就不存在基本单位数。

因此,两个整环 是特殊的整环,称为高斯整环和艾森斯坦整环。它们直观上分别构成复平面上正方形点阵和正六边形点阵(正三角形格点),研究虚二次域的时候最经常用到这两个整环。

虚二次域中对范数的研究可以转化为 椭圆上整点问题,有名的“圆上整点问题”可以转化为对 d 为 - 1 的虚二次域的研究。

Gauss 整数

一般将 称为高斯域,相应的 为高斯整环,高斯整环中的每个元素为高斯整数,即复平面上正方形格点。

高斯域恰好是四次分圆域,因此常用来解决 四次互反律 问题。

高斯整数中,一个数有四个相伴数(含本身)。

高斯整数中的全体素数分为三类:

分歧 数:1+i,为原来的 2 的因子。分歧数的共轭是它的相伴数,因此可以指定任一分歧数为本原数代表。

惯性 数:所有正整数中 4k+3 形式的素数,在高斯整数中仍旧为素数。在整环扩张中保持了素数的特性,因此称为“惯性”。

分裂 数:所有正整数中 4k+1 形式的素数,在高斯整数中可以拆成一对共轭的两个素数,这两个素数不相伴。这样的新素数是分裂的。

当然,这两个共轭的素数是不同的,即共轭的两个分裂数是互素的。

对于素数中的分裂数和惯性数,本原数的指定往往有着严格的规定,这是为了解决四次剩余问题的方便。

规定:高斯整数中的本原素数 有:

在 2(1+i)的缩系中有 4 个剩余类,除了 1+i 的每个素数的每个相伴数恰好落入其中一类。

对于 1+i 与它的相伴数,一般指定 1+i 是本原素数。

勾股方程

高斯整数最简单的应用是解决勾股方程的解。勾股方程是满足下面形式的方程:

左边恰好构成高斯整数的范数,即:

通过模 4 的分析,我们知道右边模 4 必然余 1,即如果含模 4 余 3 的惯性数因子,必然含偶数个。

由于分歧数和分裂数的范数都是一般整数中的素数,将左边唯一分解后必然也只能成对出现(在共轭与相伴的意义下)。即:

用一般的整数写出来就是:

勾股方程的几何意义是单位圆上的圆周角定理,或者半正切的外能代换公式。如下图:

pic

单位圆周上的点 是有理点,等价于直线 的斜率是有理数。

还证明相应的四次形式无解。即:

事实上,可以用无穷递降法证明,

没有整数解。

圆上整点问题

利用高斯整数的唯一分解,可以解决圆上整点问题。即给定范数为 n 的条件下,有多少个高斯整数满足这个范数 n:

仍旧将左边和右边唯一分解。左边在高斯整数意义下唯一分解,右边在正整数范畴唯一分解。

对于分歧和分裂的素数,范数是原整数中的素数,而 4k+3 形式惯性的素数,范数是原素数的平方。因此 n 中 4k+3 形式的素数必须成对出现,否则无解。

然后利用简单的计数法就知道,在 n 中 4k+3 形式的素数成对出现前提下,整点个数与含多少个 2(或 1+i)无关,只与 4k+1 形式的素数个数有关,每一个 4k+1 形式的素数提供 2 中选择方法,在计数中扩大 2 倍。最后由对称性,整点个数乘 4 即可。

有解数的公式:

式中 为上文提到的狄利克雷特征,

Eisenstein 整数

注:Eisenstein(艾森斯坦)是 Gauss 的得意门生。

一般将 称为艾森斯坦域,相应的 为艾森斯坦整环,艾森斯坦整环中的每个元素为艾森斯坦整数,即复平面上正六边形格点。

艾森斯坦域恰好是三次分圆域,也是六次分圆域,因此常用来解决 三次互反律 问题。结合已经解决的二次互反律,就能给出六次剩余的手动计算。同样,如果结合高斯域中的四次互反律,就能解决十二次剩余的手动计算。

艾森斯坦整数中,一个数有六个相伴数(含本身)。

同样,艾森斯坦整数中的全体素数分为三类:

分歧 数:,为原来的 3 的因子。

惯性 数:所有正整数中 3k+2 形式(2 和 6k+5 形式)的素数,在艾森斯坦整数中仍旧为素数。

分裂 数:所有正整数中 3k+1 形式(6k+1 形式)的素数,在高斯整数中可以拆成一对共轭的两个素数,这两个素数不相伴。这样的新素数是分裂的。同样,这两个共轭的素数是不同的,即共轭的两个分裂数是互素的。

对于素数中的分裂数和惯性数,本原数的指定也有着严格的规定,这是为了解决三次剩余问题的方便。

规定:艾森斯坦整数中的本原素数 有:

在 3 的缩系中有 6 个剩余类,除了 的每个素数的每个相伴数恰好落入其中一类。注意,这与通常的 3 的剩余类不同。艾森斯坦整数中 3 的全部剩余类有 9 个,而缩系中有 6 个。

对于 与它的相伴数,可以指定 是本原素数。

艾森斯坦整数可以解决下面形式的方程的解:

或者:

或者:

后两个在整数范畴是等价的。这里的求解完全仿照勾股方程即可,不再赘述。

类勾股方程

定理:设 为奇数,则当

成立,等价于存在 ,使得

利用艾森斯坦整环的唯一分解性,该定理是显然的。

利用上述结论与无穷递降法,同样能证明三次的某种形式无解,即:

椭圆上整点问题

利用艾森斯坦整数的唯一分解,可以解决一种椭圆上整点问题。即给定范数为 n 的条件下,有多少个艾森斯坦整数满足这个范数 n。三种形式为:

或者:

或者:

方法仍旧完全一样,不再赘述。它们的结论是:

方程

解的个数为

式中 为上文提到的狄利克雷特征,

为正奇数。对于方程

的结论,当 为奇数时无解,当 时,解数为

为正偶数时,解数为


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