筛法

素数筛法

引入

如果我们想要知道小于等于 有多少个素数呢?

一个自然的想法是对于小于等于 的每个数进行一次质数检验。这种暴力的做法显然不能达到最优复杂度。

埃拉托斯特尼筛法

过程

考虑这样一件事情:对于任意一个大于 的正整数 ,那么它的 倍就是合数()。利用这个结论,我们可以避免很多次不必要的检测。

如果我们从小到大考虑每个数,然后同时把当前这个数的所有(比自己大的)倍数记为合数,那么运行结束的时候没有被标记的数就是素数了。

实现

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
// C++ Version
int Eratosthenes(int n) {
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
  is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
      if ((long long)i * i <= n)
        for (int j = i * i; j <= n; j += i)
          // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了,这里直接从 i
          // 的倍数开始,提高了运行速度
          is_prime[j] = 0;  // 是i的倍数的均不是素数
    }
  }
  return p;
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
# Python Version
def Eratosthenes(n):
    p = 0
    for i in range(0, n + 1):
        is_prime[i] = True
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime[i]:
            prime[p] = i
            p = p + 1
            if i * i <= n:
                j = i * i
                while j <= n:
                    is_prime[j] = False
                    j = j + i
    return p

以上为 Eratosthenes 筛法(埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛法),时间复杂度是

证明

现在我们就来看看推导过程:

如果每一次对数组的操作花费 1 个单位时间,则时间复杂度为:

其中 表示第 小的素数。根据 Mertens 第二定理,存在常数 使得:

所以 Eratosthenes 筛法 的时间复杂度为 。接下来我们证明 Mertens 第二定理的弱化版本

根据 ,可知第 个素数的大小为 。于是就有

当然,上面的做法效率仍然不够高效,应用下面几种方法可以稍微提高算法的执行效率。

筛至平方根

显然,要找到直到 为止的所有素数,仅对不超过 的素数进行筛选就足够了。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
// C++ Version
int n;
vector<char> is_prime(n + 1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
  if (is_prime[i]) {
    for (int j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
  }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
# Python Version
is_prime = [True] * (n + 1)
is_prime[0] = is_prime[1] = False
for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):
    if is_prime[i]:
        j = i * i
        while j <= n:
            is_prime[j] = False
            j += i

这种优化不会影响渐进时间复杂度,实际上重复以上证明,我们将得到 ,根据对数的性质,它们的渐进相同,但操作次数会明显减少。

只筛奇数

因为除 2 以外的偶数都是合数,所以我们可以直接跳过它们,只用关心奇数就好。

首先,这样做能让我们内存需求减半;其次,所需的操作大约也减半。

减少内存的占用

我们注意到筛法只需要 比特的内存。因此我们可以通过将变量声明为布尔类型,只申请 比特而不是 字节的内存,来显著的减少内存占用。即仅占用 字节的内存。

但是,这种称为 位级压缩 的方法会使这些位的操作复杂化。任何位上的读写操作都需要多次算术运算,最终会使算法变慢。

因此,这种方法只有在 特别大,以至于我们不能再分配内存时才合理。在这种情况下,我们将牺牲效率,通过显著降低算法速度以节省内存(减小 8 倍)。

值得一提的是,存在自动执行位级压缩的数据结构,如 C++ 中的 vector<bool>bitset<>

分块筛选

由优化“筛至平方根”可知,不需要一直保留整个 is_prime[1...n] 数组。为了进行筛选,只保留到 的素数就足够了,即 prime[1...sqrt(n)]。并将整个范围分成块,每个块分别进行筛选。这样,我们就不必同时在内存中保留多个块,而且 CPU 可以更好地处理缓存。

是一个常数,它决定了块的大小,那么我们就有了 个块,而块 () 包含了区间 中的数字。我们可以依次处理块,也就是说,对于每个块 ,我们将遍历所有质数(从 )并使用它们进行筛选。

值得注意的是,我们在处理第一个数字时需要稍微修改一下策略:首先,应保留 中的所有的质数;第二,数字 应该标记为非素数。在处理最后一个块时,不应该忘记最后一个数字 并不一定位于块的末尾。

以下实现使用块筛选来计算小于等于 的质数数量。

实现
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
int count_primes(int n) {
  const int S = 10000;
  vector<int> primes;
  int nsqrt = sqrt(n);
  vector<char> is_prime(nsqrt + 1, true);
  for (int i = 2; i <= nsqrt; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      primes.push_back(i);
      for (int j = i * i; j <= nsqrt; j += i) is_prime[j] = false;
    }
  }
  int result = 0;
  vector<char> block(S);
  for (int k = 0; k * S <= n; k++) {
    fill(block.begin(), block.end(), true);
    int start = k * S;
    for (int p : primes) {
      int start_idx = (start + p - 1) / p;
      int j = max(start_idx, p) * p - start;
      for (; j < S; j += p) block[j] = false;
    }
    if (k == 0) block[0] = block[1] = false;
    for (int i = 0; i < S && start + i <= n; i++) {
      if (block[i]) result++;
    }
  }
  return result;
}

分块筛法的渐进时间复杂度与埃氏筛法是一样的(除非块非常小),但是所需的内存将缩小为 ,并且有更好的缓存结果。 另一方面,对于每一对块和区间 中的素数都要进行除法,而对于较小的块来说,这种情况要糟糕得多。 因此,在选择常数 时要保持平衡。

块大小 之间,可以获得最佳的速度。

线性筛法

埃氏筛法仍有优化空间,它会将一个合数重复多次标记。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢?答案是肯定的。

如果能让每个合数都只被标记一次,那么时间复杂度就可以降到 了。

实现
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
// C++ Version
void init() {
  for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      pri[cnt++] = i;
    }
    for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
      if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break;
      vis[i * pri[j]] = 1;
      if (i % pri[j] == 0) {
        // i % pri[j] == 0
        // 换言之,i 之前被 pri[j] 筛过了
        // 由于 pri 里面质数是从小到大的,所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
        // pri[j] 的倍数 它们都被筛过了,就不需要再筛了,所以这里直接 break
        // 掉就好了
        break;
      }
    }
  }
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
# Python Version
def init():
    for i in range(2, MAXN):
        if vis[i] == False:
            pri[cnt] = i
            cnt = cnt + 1
        for j in range(0, cnt):
            if i * pri[j] >= MAXN:
                break
            vis[i * pri[j]] = 1
            if i % pri[j] == 0:
                """
                i % pri[j] == 0
                换言之,i 之前被 pri[j] 筛过了
                由于 pri 里面质数是从小到大的,所以 i 乘上其他的质数的结果一定也是
                pri[j] 的倍数 它们都被筛过了,就不需要再筛了,所以这里直接 break
                掉就好了
                """
                break

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法(欧拉筛法)。

Note

注意到筛法求素数的同时也得到了每个数的最小质因子。

筛法求欧拉函数

注意到在线性筛中,每一个合数都是被最小的质因子筛掉。比如设 的最小质因子,,那么线性筛的过程中 通过 筛掉。

观察线性筛的过程,我们还需要处理两个部分,下面对 分情况讨论。

如果 ,那么 包含了 的所有质因子。

那如果 呢,这时 是互质的,根据欧拉函数性质,我们有:

实现

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
// C++ Version
void pre() {
  memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
  int cnt = 0;
  is_prime[1] = 0;
  phi[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 5000000; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[++cnt] = i;
      phi[i] = i - 1;
    }
    for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= 5000000; j++) {
      is_prime[i * prime[j]] = 0;
      if (i % prime[j])
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
      else {
        phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
        break;
      }
    }
  }
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
# Python Version
def pre():
    cnt = 0
    is_prime[1] = False
    phi[1] = 1
    for i in range(2, 5000001):
        if is_prime[i]:
            cnt = cnt + 1
            prime[cnt] = i
            phi[i] = i - 1
        j = 1
        while j <= cnt and i * prime[j] <= 5000000:
            is_prime[i * prime[j]] = 0
            if i % prime[j]:
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]]
            else:
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]
                break
            j = j + 1

筛法求莫比乌斯函数

定义

根据莫比乌斯函数的定义,设 是一个合数, 的最小质因子,,有:

是质数,有

实现

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
// C++ Version
void pre() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= 1e7; ++i) {
    if (!v[i]) mu[i] = -1, p[++tot] = i;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= 1e7 / p[j]; ++j) {
      v[i * p[j]] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0;
        break;
      } else {
        mu[i * p[j]] = -mu[i];
      }
    }
  }
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
# Python Version
def pre():
    mu[1] = 1
    for i in range(2, int(1e7 + 1)):
        if v[i] == 0:
            mu[i] = -1
            tot = tot + 1
            p[tot] = i
        j = 1
        while j <= tot and i <= 1e7 // p[j]:
            v[i * p[j]] = 1
            if i % p[j] == 0:
                mu[i * p[j]] = 0
                break
            else:
                mu[i * p[j]] = -mu[i]
            j = j + 1

筛法求约数个数

表示 的约数个数, 表示 的最小质因子出现次数。

约数个数定理

定理:若

证明:我们知道 的约数有 个,根据乘法原理, 的约数个数就是

实现

因为 是积性函数,所以可以使用线性筛。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
// C++ Version
void pre() {
  d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
        d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
        break;
      } else {
        num[i * p[j]] = 1;
        d[i * p[j]] = d[i] * 2;
      }
    }
  }
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
# Python Version
def pre():
    d[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if v[i] == 0:
            v[i] = 1; tot = tot + 1; p[tot] = i; d[i] = 2; num[i] = 1
        j = 1
        while j <= tot and i <= n // p[j]:
            v[p[j] * i] = 1
            if i % p[j] == 0:
                num[i * p[j]] = num[i] + 1
                d[i * p[j]] = d[i] // num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1)
                break
            else:
                num[i * p[j]] = 1
                d[i * p[j]] = d[i] * 2
            j = j + 1

筛法求约数和

表示 的约数和, 表示 的最小质因子的 .

实现

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
// C++ Version
void pre() {
  g[1] = f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
        f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
        break;
      } else {
        f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
        g[i * p[j]] = 1 + p[j];
      }
    }
  }
}
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
# Python Version
def pre():
    g[1] = f[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        if v[i] == 0:
            v[i] = 1; tot = tot + 1; p[tot] = i; g[i] = i + 1; f[i] = i + 1
        j = 1
        while j <= tot and i <= n // p[j]:
            v[p[j] * i] = 1
            if i % p[j] == 0:
                g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1
                f[i * p[j]] = f[i] // g[i] * g[i * p[j]]
                break
            else:
                f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]]
                g[i * p[j]] = 1 + p[j]

一般的积性函数

假如一个 积性函数 满足:对于任意质数 和正整数 ,可以在 时间内计算 ,那么可以在 时间内筛出 的值。

设合数 的质因子分解是 ,其中 为质数,我们在线性筛中记录 ,假如 筛掉( 是质数),那么 满足如下递推式:

假如 ,说明 就是某个质数的次幂,可以 计算 ;否则,

本节部分内容译自博文 Решето Эратосфена 与其英文翻译版 Sieve of Eratosthenes。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。


评论