Lyndon 分解

定义

首先我们介绍 Lyndon 分解的概念。

Lyndon 串:对于字符串 ,如果 的字典序严格小于 的所有后缀的字典序,我们称 是简单串,或者 Lyndon 串。举一些例子,a,b,ab,aab,abb,ababb,abcd 都是 Lyndon 串。当且仅当 的字典序严格小于它的所有非平凡的(非平凡:非空且不同于自身)循环同构串时, 才是 Lyndon 串。

Lyndon 分解:串 的 Lyndon 分解记为 ,其中所有 为简单串,并且他们的字典序按照非严格单减排序,即 。可以发现,这样的分解存在且唯一。

Duval 算法

解释

Duval 可以在 的时间内求出一个串的 Lyndon 分解。

首先我们介绍另外一个概念:如果一个字符串 能够分解为 的形式,其中 是一个 Lyndon 串,而 的前缀( 可能是空串),那么称 是近似简单串(pre-simple),或者近似 Lyndon 串。一个 Lyndon 串也是近似 Lyndon 串。

Duval 算法运用了贪心的思想。算法过程中我们把串 分成三个部分 ,其中 是一个 Lyndon 串,它的 Lyndon 分解已经记录; 是一个近似 Lyndon 串; 是未处理的部分。

过程

整体描述一下,该算法每一次尝试将 的首字符添加到 的末尾。如果 不再是近似 Lyndon 串,那么我们就可以将 截出一部分前缀(即 Lyndon 分解)接在 末尾。

我们来更详细地解释一下算法的过程。定义一个指针 指向 的首字符,则 遍历到 (字符串长度)。在循环的过程中我们定义另一个指针 指向 的首字符,指针 指向 中我们当前考虑的字符(意义是 的上一个循环节中对应的字符)。我们的目标是将 添加到 的末尾,这就需要将 做比较:

  1. 如果 ,则将 添加到 末尾不会影响它的近似简单性。于是我们只需要让指针 自增(移向下一位)即可。
  2. 如果 ,那么 就变成了一个 Lyndon 串,于是我们将指针 自增,而让 指向 的首字符,这样 就变成了一个循环次数为 1 的新 Lyndon 串了。
  3. 如果 ,则 就不是一个近似简单串了,那么我们就要把 分解出它的一个 Lyndon 子串,这个 Lyndon 子串的长度将是 ,即它的一个循环节。然后把 变成分解完以后剩下的部分,继续循环下去(注意,这个情况下我们没有改变指针 ),直到循环节被截完。对于剩余部分,我们只需要将进度「回退」到剩余部分的开头即可。

实现

下面的代码返回串 的 Lyndon 分解方案。

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// C++ Version
// duval_algorithm
vector<string> duval(string const& s) {
  int n = s.size(), i = 0;
  vector<string> factorization;
  while (i < n) {
    int j = i + 1, k = i;
    while (j < n && s[k] <= s[j]) {
      if (s[k] < s[j])
        k = i;
      else
        k++;
      j++;
    }
    while (i <= k) {
      factorization.push_back(s.substr(i, j - k));
      i += j - k;
    }
  }
  return factorization;
}
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# Python Version
# duval_algorithm
def duval(s):
    n, i = len(s), 0
    factorization = []
    while i < n:
        j, k = i + 1, i
        while j < n and s[k] <= s[j]:
            if s[k] < s[j]:
                k = i
            else:
                k += 1
            j += 1
        while i <= k:
            factorization.append(s[i : i + j - k])
            i += j - k
    return factorization

复杂度分析

接下来我们证明一下这个算法的复杂度。

外层的循环次数不超过 ,因为每一次 都会增加。第二个内层循环也是 的,因为它只记录 Lyndon 分解的方案。接下来我们分析一下内层循环。很容易发现,每一次在外层循环中找到的 Lyndon 串是比我们所比较过的剩余的串要长的,因此剩余的串的长度和要小于 ,于是我们最多在内层循环 次。事实上循环的总次数不超过 ,时间复杂度为

最小表示法(Finding the smallest cyclic shift)

对于长度为 的串 ,我们可以通过上述算法寻找该串的最小表示法。

我们构建串 的 Lyndon 分解,然后寻找这个分解中的一个 Lyndon 串 ,使得它的起点小于 且终点大于等于 。可以很容易地使用 Lyndon 分解的性质证明,子串 的首字符就是 的最小表示法的首字符,即我们沿着 的开头往后 个字符组成的串就是 的最小表示法。

于是我们在分解的过程中记录每一次的近似 Lyndon 串的开头即可。

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// C++ Version
// smallest_cyclic_string
string min_cyclic_string(string s) {
  s += s;
  int n = s.size();
  int i = 0, ans = 0;
  while (i < n / 2) {
    ans = i;
    int j = i + 1, k = i;
    while (j < n && s[k] <= s[j]) {
      if (s[k] < s[j])
        k = i;
      else
        k++;
      j++;
    }
    while (i <= k) i += j - k;
  }
  return s.substr(ans, n / 2);
}
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# Python Version
# smallest_cyclic_string
def min_cyclic_string(s):
    s += s
    n = len(s)
    i, ans = 0, 0
    while i < n / 2:
        ans = i
        j, k = i + 1, i
        while j < n and s[k] <= s[j]:
            if s[k] < s[j]:
                k = i
            else:
                k += 1
            j += 1
        while i <= k:
            i += j - k
    return s[ans : ans + n / 2]

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