中国剩余定理
「物不知数」问题¶
有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?
即求满足以下条件的整数:除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2。
该问题最早见于《孙子算经》中,并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出:
三人同行七十希,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知。
2\times 70+3\times 21+2\times 15=233=2\times 105+23,故答案为 23。
算法简介及过程¶
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组(其中 n_1, n_2, \cdots, n_k 两两互质):
上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。
算法流程¶
- 计算所有模数的积 n;
- 对于第 i 个方程:
- 计算 m_i=\frac{n}{n_i};
- 计算 m_i 在模 n_i 意义下的 逆元 m_i^{-1};
- 计算 c_i=m_im_i^{-1}(不要对 n_i 取模)。
- 方程组的唯一解为:x=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n。
代码实现¶
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算法的证明¶
我们需要证明上面算法计算所得的 x 对于任意 i=1,2,\cdots,k 满足 x\equiv a_i \pmod {n_i}。
当 i\neq j 时,有 m_j \equiv 0 \pmod {n_i},故 c_j \equiv m_j \equiv 0 \pmod {n_i}。又有 c_i \equiv m_i \cdot (m_i^{-1} \bmod {n_i}) \equiv 1 \pmod {n_i},所以我们有:
即对于任意 i=1,2,\cdots,k,上面算法得到的 x 总是满足 x\equiv a_i \pmod{n_i},即证明了解同余方程组的算法的正确性。
因为我们没有对输入的 a_i 作特殊限制,所以任何一组输入 \{a_i\} 都对应一个解 x。
另外,若 x\neq y,则总存在 i 使得 x 和 y 在模 n_i 下不同余。
故系数列表 \{a_i\} 与解 x 之间是一一映射关系,方程组总是有唯一解。
例¶
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。
- n=3\times 5\times 7=105;
- 三人同行 七十 希:n_1=3, m_1=n/n_1=35, m_1^{-1}\equiv 2\pmod 3,故 c_1=35\times 2=70;
- 五树梅花 廿一 支:n_2=5, m_2=n/n_2=21, m_2^{-1}\equiv 1\pmod 5,故 c_2=21\times 1=21;
- 七子团圆正 半月:n_3=7, m_3=n/n_3=15, m_3^{-1}\equiv 1\pmod 7,故 c_3=15\times 1=15;
- 所以方程组的唯一解为 x\equiv 2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 233\equiv 23 \pmod {105}。(除 百零五 便得知)
Garner 算法¶
CRT 的另一个用途是用一组比较小的质数表示一个大的整数。
例如,若 a 满足如下线性方程组,且 a < \prod_{i=1}^k p_i(其中 p_i 为质数):
我们可以用以下形式的式子(称作 a 的混合基数表示)表示 a:
Garner 算法 将用来计算系数 x_1, \ldots, x_k。
令 r_{ij} 为 p_i 在模 p_j 意义下的 逆:
把 a 代入我们得到的第一个方程:
代入第二个方程得出:
方程两边减 x_1,除 p_1 后得
类似地,我们可以得到:
参考代码
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该算法的时间复杂度为 O(k^2)。实际上 Garner 算法并不要求模数为质数,只要求模数两两互质,我们有如下伪代码:
可以发现在第六行中的计算过程对应上述混合基数的表示。
应用¶
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他原因,给出的模数:不是质数!
但是对其质因数分解会发现它没有平方因子,也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。
那么我们可以分别对这些模数进行计算,最后用 CRT 合并答案。
下面这道题就是一个不错的例子。
洛谷 P2480 [SDOI2010]古代猪文
给出 G,n(1 \leq G,n \leq 10^9),求:
首先,当 G=999~911~659 时,所求显然为 0。
否则,根据 欧拉定理,可知所求为:
现在考虑如何计算:
因为 999~911~658 不是质数,无法保证 \forall x \in [1,999~911~657],x 都有逆元存在,上面这个式子我们无法直接计算。
注意到 999~911~658=2 \times 3 \times 4679 \times 35617,其中每个质因子的最高次数均为一,我们可以考虑分别求出 \sum_{k\mid n}\binom{n}{k} 在模 2,3,4679,35617 这几个质数下的结果,最后用中国剩余定理来合并答案。
也就是说,我们实际上要求下面一个线性方程组的解:
而计算一个组合数对较小的质数取模后的结果,可以利用 卢卡斯定理。
扩展:模数不互质的情况¶
两个方程¶
设两个方程分别是 x\equiv a_1 \pmod {m_1}、x\equiv a_2 \pmod {m_2};
将它们转化为不定方程:x=m_1p+a_1=m_2q+a_2,其中 p, q 是整数,则有 m_1p-m_2q=a_2-a_1。
由裴蜀定理,当 a_2-a_1 不能被 \gcd(m_1,m_2) 整除时,无解;
其他情况下,可以通过扩展欧几里得算法解出来一组可行解 (p, q);
则原来的两方程组成的模方程组的解为 x\equiv b\pmod M,其中 b=m_1p+a_1,M=\text{lcm}(m_1, m_2)。
多个方程¶
用上面的方法两两合并即可。
习题¶
- 【模板】扩展中国剩余定理
- 「NOI2018」屠龙勇士
-
本页面部分内容译自博文 Китайская теорема об остатках 与其英文翻译版 Chinese Remainder Theorem。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link;英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。
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