数学符号表

本文规定了 OI Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例．

本文参考了 GB/T 3102.11-1993、ISO 80000-2:2019 和《具体数学》的符号表修订，故基本与国内通行教材的符号体系和 OI 场景的惯用符号体系兼容．

符号的 LaTeX 写法请参考 本文章的源代码

数理逻辑

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n1.1	$p\wedge q$	$p$ 和 $q$ 的合取	$p$ 与 $q$.
n1.2	$p\vee q$	$p$ 和 $q$ 的析取	$p$ 或 $q$; 此处的 "或" 是包含的，即若 $p$，$q$ 中有一个为真陈述，则 $p\vee q$ 为真．
n1.3	$\mathrm{\neg }p$	$p$ 的否定	非 $p$.
n1.4	$p⟹q$	$p$ 蕴含 $q$; 若 $p$ 为真，则 $q$ 为真	$q⟸p$ 和 $p⟹q$ 同义．
n1.5	$p⟺q$	$p$ 等价于 $q$	$(p⟹q)\wedge (q⟹p)$ 和 $p⟺q$ 同义．
n1.6	$(\mathrm{\forall }x\in A)p(x)$	对 $A$ 中所有的 $x$, 命题 $p(x)$ 均为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 可以使用记号 $(\mathrm{\forall }x)p(x)$. $\mathrm{\forall }$ 称为全称量词． $x\in A$ 的含义见 n2.1.
n1.7	$(\mathrm{\exists }x\in A)p(x)$	存在一个属于 $A$ 的 $x$ 使得 $p(x)$ 为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 可以使用记号 $(\mathrm{\exists }x)p(x)$. $\mathrm{\exists }$ 称为存在量词． $x\in A$ 的含义见 n2.1. $(\mathrm{\exists }!x)p(x)$（唯一量词）用来表示恰有一个 $x$ 使得 $p(x)$ 为真． $\mathrm{\exists }!$ 也可以写作 ${\mathrm{\exists }}^1$.

集合论

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n2.1	$x\in A$	$x$ 属于 $A$，$x$ 是集合 $A$ 中的元素	$A\ni x$ 和 $x\in A$ 同义．
n2.2	$y\notin A$	$y$ 不属于 $A$，$y$ 不是集合 $A$ 中的元素
n2.3	$\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$	含元素 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 的集合	也可写作 $\{x_i|i\in I\}$, 其中 $I$ 表示指标集．
n2.4	$\{x\in A|p(x)\}$	$A$ 中使命题 $p(x)$ 为真的所有元素组成的集合	例如 $\{x\in \mathbf{\text{R}}|x\ge 5\}$; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$，可以使用符号 $\{x|p(x)\}$（如在只考虑实数集时可使用 $\{x|x\ge 5\}$） $|$ 也可以使用冒号替代，如 $\{x\in A:p(x)\}$.
n2.5	$\mathrm{card}A$; $|A|$; $\mathrm{\#}A$	$A$ 中的元素个数，$A$ 的基数
n2.6	$\varnothing$	空集	不应使用 $\mathrm{\varnothing }$.
n2.7	$B\subseteq A$	$B$ 包含于 $A$ 中，$B$ 是 $A$ 的子集	$B$ 的每个元素都属于 $A$. $\subset$ 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明． $A\supseteq B$ 和 $B\subseteq A$ 同义．
n2.8	$B\subset A$	$B$ 真包含于 $A$ 中，$B$ 是 $A$ 的真子集	$B$ 的每个元素都属于 $A$, 且 $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$. 若 $\subset$ 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 $⊊$. $A\supset B$ 与 $B\subset A$ 同义．
n2.9	$A\cup B$	$A$ 和 $B$ 的并集	$A\cup B:=\{x|x\in A\vee x\in B\}$; $:=$ 的定义参见 n4.3
n2.10	$A\cap B$	$A$ 和 $B$ 的交集	$A\cap B:=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$; $:=$ 的定义参见 n4.3
n2.11	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^n{A}_i}$	集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的并集	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n}$; 也可使用 ${\displaystyle {\bigcup }_{i=1}^n}$，${\displaystyle \bigcup _{i\in I}}$，${\displaystyle {\bigcup }_{i\in I}}$, 其中 $I$ 表示指标集； 进一步，令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 ${\displaystyle \bigcup _{P(i)}{A}_i}$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $A_i$ 之并集
n2.12	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^n{A}_i}$	集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的交集	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^n{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n}$; 也可使用 ${\displaystyle {\bigcap }_{i=1}^n}$，${\displaystyle \bigcap _{i\in I}}$，${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}}$, 其中 $I$ 表示指标集； 进一步，令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 ${\displaystyle \bigcap _{P(i)}{A}_i}$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $A_i$ 之交集
n2.13	$A\setminus B$	$A$ 和 $B$ 的差集	$A\setminus B=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$; 不应使用 $A-B$; 当 $B$ 是 $A$ 的子集时也可使用 ${\complement }_{A}B$, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$，则 $A$ 可以省略． 不引起歧义的情况下也可使用 $\bar{B}$ 表示集合 $B$ 的补集．
n2.14	$(a,b)$	有序数对 $a$，$b$; 有序偶 $a$，$b$	$(a,b)=(c,d)$ 当且仅当 $a=c$ 且 $b=d$.
n2.15	$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$	有序 $n$ 元组	参见 n2.14.
n2.16	$A\times B$	集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积	$A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}$.
n2.17	${\displaystyle \prod _{i=1}^n{A}_i}$	集合 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 的笛卡尔积	${\displaystyle \prod _{i=1}^n{A}_i=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)|x_1\in A_1,x_2\in A_2,\dots ,x_n\in A_n\}}$; $A\times A\times \cdots \times A$ 记为 $A^n$, 其中 $n$ 是乘积中的因子数； 该符号的另一种用法参见 n6.8
n2.18	${\mathrm{id}}_A$	$A\times A$ 的对角集	${\mathrm{id}}_A=\{(x,x)|x\in A\}$; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$, 则 $A$ 可以省略．
n2.19	${\mathbf{1}}_A$	指示函数	${\mathbf{1}}_A(a)=[a\in A]$，$[\cdot ]$ 的定义参见 n6.24．
n2.20	$\mathcal{P}(A)$; $2^A$	幂集	$\mathcal{P}(A)=\{S:S\subseteq A\}$

标准数集和区间

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n3.1	$\mathbf{N}$	自然数集	$\mathbf{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$; ${\mathbf{N}}^{\ast }={\mathbf{N}}_{+}=\{1,2,3,\dots \}$; 可用如下方式添加其他限制：; 也可使用 $\mathbb{N}$.
n3.2	$\mathbf{Z}$	整数集	${\mathbf{Z}}^{\ast }={\mathbf{Z}}_{+}=\{n\in \mathbf{Z}|n\ne 0\}$; 可用如下方式添加其他限制：; 也可使用 $\mathbb{Z}$.
n3.3	$\mathbf{Q}$	有理数集	${\mathbf{Q}}^{\ast }={\mathbf{Q}}_{+}=\{r\in \mathbf{Q}|r\ne 0\}$; 可用如下方式添加其他限制：; 也可使用 $\mathbb{Q}$.
n3.4	$\mathbf{R}$	实数集	${\mathbf{R}}^{\ast }={\mathbf{R}}_{+}=\{x\in \mathbf{R}|x\ne 0\}$; 可用如下方式添加其他限制：; 也可使用 $\mathbb{R}$.
n3.5	$\mathbf{C}$	复数集	${\mathbf{C}}^{\ast }={\mathbf{C}}_{+}=\{z\in \mathbf{C}|z\ne 0\}$; 也可使用 $\mathbb{C}$.
n3.6	$\mathbf{P}$	（正）素数集	$\mathbf{P}=\{2,3,5,7,11,13,17,\dots \}$; 也可使用 $\mathbb{P}$.
n3.7	$[a,b]$	$a$ 到 $b$ 的闭区间	$[a,b]=\{x\in \mathbf{R}|a\le x\le b\}$.
n3.8	$(a,b]$	$a$ 到 $b$ 的左开右闭区间	; $(-\mathrm{\infty },b]=\{x\in \mathbf{R}|x\le b\}$.
n3.9	$[a,b)$	$a$ 到 $b$ 的左闭右开区间	; $[a,+\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbf{R}|a\le x\}$.
n3.10	$(a,b)$	$a$ 到 $b$ 的开区间	; ; .

关系

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n4.1	$a=b$	$a$ 等于 $b$	$\equiv$ 用于强调某等式是恒等式 该符号的另一个含义参见 n4.18.
n4.2	$a\ne b$	$a$ 不等于 $b$
n4.3	$a:=b$	$a$ 定义为 $b$	参见 n2.9,n2.10
n4.4	$a\approx b$	$a$ 约等于 $b$	不排除相等．
n4.5	$a\simeq b$	$a$ 渐近等于 $b$	例如： 当 $x\to a$ 时，${\displaystyle \frac{1}{\sin (x-a)}}\simeq {\displaystyle \frac{1}{x-a}}$; $x\to a$ 的含义参见 n4.15.
n4.6	$a\propto b$	$a$ 与 $b$ 成正比	也可使用 $a\sim b$. $\sim$ 也用于表示等价关系．
n4.7	$M\cong N$	$M$ 与 $N$ 全等	当 $M$ 和 $N$ 是点集（几何图形）时． 该符号也用于表示代数结构的同构．
n4.8		$a$ 小于 $b$
n4.9		$b$ 大于 $a$
n4.10	$a\le b$	$a$ 小于等于 $b$
n4.11	$b\ge a$	$b$ 大于等于 $a$
n4.12	$a\ll b$	$a$ 远小于 $b$
n4.13	$b\gg a$	$b$ 远大于 $a$
n4.14	$\mathrm{\infty }$	无穷大	该符号 不 是数字． 也可以使用 $+\mathrm{\infty }$，$-\mathrm{\infty }$.
n4.15	$x\to a$	$x$ 趋近于 $a$	一般出现在极限表达式中． $a$ 也可以为 $\mathrm{\infty }$，$+\mathrm{\infty }$，$-\mathrm{\infty }$.
n4.16	$m\mid n$	$m$ 整除 $n$	对整数 $m$，$n$: $(\mathrm{\exists }k\in \mathbf{Z})m\cdot k=n$.
n4.17	$m⟂n$	$m$ 与 $n$ 互质	对整数 $m$，$n$: ; 该符号的另一种用法参见 n5.2
n4.18	$n\equiv k(\mathrm{mod}m)$	$n$ 模 $m$ 与 $k$ 同余	对整数 $n$，$k$，$m$: $m\mid (n-k)$; 不要与 n4.1 中提到的相混淆．

初等几何学

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n5.1	$\parallel$	平行
n5.2	$⟂$	垂直	该符号的另一种用法参见 n4.17
n5.3	$\mathrm{\angle }$	（平面）角
n5.4	$\overline{\mathrm{AB}}$	线段 $\mathrm{AB}$
n5.5	$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$	有向线段 $\mathrm{AB}$
n5.6	$d(\mathrm{A},\mathrm{B})$	点 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 之间的距离	即 $\overline{\mathrm{AB}}$ 的长度．

运算符

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n6.1	$a+b$	$a$ 加 $b$
n6.2	$a-b$	$a$ 减 $b$
n6.3	$a\pm b$	$a$ 加或减 $b$
n6.4	$a\mp b$	$a$ 减或加 $b$	$-(a\pm b)=-a\mp b$.
n6.5	$a\cdot b$; $a\times b$; $ab$	$a$ 乘 $b$	若出现小数点，则应只使用 $\times$; 部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12
n6.6	${\displaystyle \frac{a}{b}}$; $a/b$; $a:b$	$a$ 除以 $b$	${\displaystyle \frac{a}{b}}=a\cdot b^{-1}$; 可用 $:$ 表示同一量纲的数值的比率． 不应使用 $÷$.
n6.7	${\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_i}$	$a_1+a_2+\cdots +a_n$	也可使用 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_i}$，${\displaystyle \sum _i{a}_i}$，${\displaystyle {\sum }_i{a}_i}$，${\displaystyle \sum a_i}$； 令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 ${\displaystyle \sum _{P(i)}{a}_i}$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $a_i$ 之和．
n6.8	${\displaystyle \prod _{i=1}^n{a}_i}$	$a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_n$	也可使用 ${\displaystyle {\prod }_{i=1}^n{a}_i}$，${\displaystyle \prod _i{a}_i}$，${\displaystyle {\prod }_i{a}_i}$，${\displaystyle \prod a_i}$； 令 $P(i)$ 为某个与 $i$ 相关的命题，可使用 ${\displaystyle \prod _{P(i)}{a}_i}$ 表示所有使 $P(i)$ 为真的 $i$ 对应的 $a_i$ 之积； 该符号的另一种用法参见 n2.17
n6.9	$a^p$	$a$ 的 $p$ 次幂
n6.10	$a^{1/2}$; $\sqrt{a}$	$a$ 的 $1/2$ 次方，$a$ 的平方根	应避免使用 $\sqrt{}a$.
n6.11	$a^{1/n}$; $\sqrt[n]{a}$	$a$ 的 $1/n$ 次幂，$a$ 的 $n$ 次根	应避免使用 $\sqrt[n]{}a$.
n6.12	$\overline{x}$; ${\overline{x}}_a$	$x$ 的算数均值	其他均值有： 调和均值 ${\overline{x}}_h$; 几何均值 ${\overline{x}}_g$; 二次均值/均方根 ${\overline{x}}_q$ 或 ${\overline{x}}_{rms}$. $\overline{x}$ 也用于表示复数 $x$ 的共轭，参见 n11.6.
n6.13	$\mathrm{sgn}a$	$a$ 的符号函数	对实数 $a$: ; ; $\mathrm{sgn}0=0$; 参见 n11.7.
n6.14	$infM$	$M$ 的下确界	非空集合 $M$ 的最大下界．
n6.15	$supM$	$M$ 的上确界	非空集合 $M$ 的最小上界．
n6.16	$|a|$	$a$ 的绝对值	也可使用 $\mathrm{abs}a$.
n6.17	$\lfloor a\rfloor$	向下取整 小于等于实数 $a$ 的最大整数	例如： $\lfloor 2.4\rfloor =2$; $\lfloor -2.4\rfloor =-3$.
n6.18	$\lceil a\rceil$	向上取整 大于等于实数 $a$ 的最小整数	例如： $\lceil 2.4\rceil =3$; $\lceil -2.4\rceil =-2$.
n6.19	$min(a,b)$; $min\{a,b\}$	$a$ 和 $b$ 的最小值	可推广到有限集中． 要表示无限集中的最小值建议使用 $inf$, 参见 n6.14
n6.20	$max(a,b)$; $max\{a,b\}$	$a$ 和 $b$ 的最大值	可推广到有限集中． 要表示无限集中的最大值建议使用 $sup$, 参见 n6.15
n6.21		$n$ 模 $m$ 的余数	对正整数 $n$，$m$: $(\mathrm{\exists }q\in \mathbf{N},r\in [0,m))n=qm+r$; 其中 .
n6.22	$gcd(a,b)$; $gcd\{a,b\}$	整数 $a$ 和 $b$ 的最大公因数	可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $(a,b)$.
n6.23	$\mathrm{lcm}(a,b)$; $\mathrm{lcm}\{a,b\}$	整数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数	可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $[a,b]$; $(a,b)[a,b]=|ab|$.
n6.24	$[P]$	Iverson 括号	若命题 $P$ 为真，则 $[P]=1$，否则 $[P]=0$．
n6.25	$a\uparrow b$； $a{\uparrow }^{n}b$	Knuth 箭头	对非负整数 $a,b,n$： $a{\uparrow }^{n}b=a\underset{n\text{ times}}{{\displaystyle \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow }}}b$； $a{\uparrow }^{0}b=ab$； $a{\uparrow }^{1}b=a\uparrow b=a^b$； ； $a{\uparrow }^{n}b=a{\uparrow }^{n-1}(a{\uparrow }^n(b-1))$.
n6.26	$[x^n]f(x)$	多项式/形式幂级数/形式 Laurent 级数 $f(x)$ 中 $x^n$ 项的系数	若 ${\displaystyle f(x)=\sum _i{a}_i{x}^i}$，则 $[x^n]f(x)=a_n$； 可推广到多元情况，如若 ${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{x}^i{y}^j}$，则 $[x^n{y}^m]f(x,y)=a_{n,m}$.

组合数学

本节中的 $n$ 和 $k$ 是自然数，$a$ 是复数，且 $k\le n$.

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n7.1	$n!$	阶乘	; $0!=1$.
n7.2	$a^{\underset{―}{k}}$; $(a{)}_{-k}$	下降阶乘幂	; $a^{\underset{―}{0}}=1$; $n^{\underset{―}{k}}={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$.
n7.3	$a^{\bar{k}}$; $(a{)}_{+k}$	上升阶乘幂	; $a^{\bar{0}}=1$; $n^{\bar{k}}={\displaystyle \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}}$.
n7.4	${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$	组合数	${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$.
n7.5	${\displaystyle [\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}]}$	第一类 Stirling 数	${\displaystyle [\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}]=n[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}]+[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1}]}$; ${\displaystyle x^{\bar{n}}=\sum _{k=0}^n[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}]x^k}$.
n7.6	${\displaystyle \{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\}}$	第二类 Stirling 数	${\displaystyle \{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\}=\frac{1}{k!}\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})(k-i{)}^n}$; ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\}{x}^{\underset{―}{k}}=x^n}$.

函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n8.1	$f$	函数
n8.2	$f(x)$，$f(x_1,\dots ,x_n)$	函数 $f$ 在 $x$ 处的值 函数 $f$ 在 $(x_1,\dots ,x_n)$ 处的值
n8.3	$\mathrm{dom}f$	$f$ 的定义域	也可使用 $\mathrm{D}(f)$.
n8.4	$\mathrm{ran}f$	$f$ 的值域	也可使用 $\mathrm{R}(f)$.
n8.5	$f:A\to B$	$f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射	$\mathrm{dom}f=A$ 且 $(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{dom}f)f(x)\in B$.
n8.6	$x\mapsto T(x),x\in A$	将所有 $x\in A$ 映射到 $T(x)$ 的函数	$T(x)$ 仅用于定义，用来表示某个参数为 $x\in A$ 的某个函数值．若这个函数为 $f$, 则对所有 $x\in A$ 均有 $f(x)=T(x)$. 因此 $T(x)$ 通常用来定义函数 $f$. 例如： $x\mapsto 3x^{2}y,x\in [0,2]$; 这是由 $3x^{2}y$ 定义的一个关于 $x$ 的二次函数．若未引入函数符号，则用 $3x^{2}y$ 表示该函数
n8.7	$f^{-1}$	$f$ 的反函数	函数 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 有定义当且仅当 $f$ 是单射． 若 $f$ 是单射，则 $\mathrm{dom}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{ran}f$，$\mathrm{ran}\left(f^{-1}\right)=\mathrm{dom}f$, 且 $(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{dom}f)f^{-1}(f(x))=x$. 不要与函数的倒数 $f(x{)}^{-1}$ 混淆．
n8.8	$g\circ f$	$f$ 和 $g$ 的复合函数	$(g\circ f)(x)=g(f(x))$.
n8.9	$f:x\mapsto y$	$f(x)=y$，$f$ 将 $x$ 映射到 $y$
n8.10	$f{|}_a^b$; $f(\dots ,u,\dots ){|}_{u=a}^{u=b}$	$f(b)-f(a)$; $f(\dots ,b,\dots )-f(\dots ,a,\dots )$	主要用于定积分的计算中．
n8.11	${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)}$; ${lim}_{x\to a}f(x)$	当 $x$ 趋近于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限	${lim}_{x\to a}f(x)=b$ 可以写成 $f(x)\to b(x\to a)$. 右极限和左极限的符号分别为 ${lim}_{x\to a+}f(x)$ 和 ${lim}_{x\to a-}f(x)$.
n8.12	$f(x)=O(g(x))$	$|f(x)/g(x)|$ 在上下文隐含的限制中有上界，$f(x)$ 的阶不高于 $g(x)$	当 $f/g$ 与 $g/f$ 均有界时称 $f$ 与 $g$ 是同阶的． 使用符号 "$=$" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． 例如： $\sin x=O(x)(x\to 0)$.
n8.13	$f(x)=o(g(x))$	在上下文隐含的限制中有 $f(x)/g(x)\to 0$，$f(x)$ 的阶高于 $g(x)$	使用符号 "$=$" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性． 例如： $\cos x=1+o(x)(x\to 0)$.
n8.14	$\mathrm{\Delta }f$	$f$ 的有限增量	上下文隐含的两函数值的差分．例如： $\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$; $\mathrm{\Delta }f(x)=f(x_2)-f(x_1)$.
n8.15	${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}$; $f^{\prime }$	$f$ 对 $x$ 的导（函）数	仅用于一元函数． 可以显式指明自变量，如 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}}$，$f^{\prime }(x)$.
n8.16	${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}}\right)}_{x=a}$; $f^{\prime }(a)$	$f$ 在 $a$ 处的导（函）数值	参见 n8.15
n8.17	${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{n}f}{\mathrm{d}{x}^n}}$; $f^{(n)}$	$f$ 对 $x$ 的 $n$ 阶导（函）数	仅用于一元函数． 可以显式指明自变量，如 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{n}f(x)}{\mathrm{d}{x}^n}}$，$f^{(n)}(x)$. 可用 $f^{″}$ 和 $f^{‴}$ 分别表示 $f^{(2)}$ 和 $f^{(3)}$.
n8.18	${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}$; $f_x$	$f$ 对 $x$ 的偏导数	仅用于多元函数． 可以显式指明自变量，如 ${\displaystyle \frac{\partial f(x,y,\dots )}{\partial x}}$，$f_x(x,y,\dots )$. 可以扩展到高阶，如 $f_{xx}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}\left({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\right)$; $f_{xy}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}\left({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\right)$.
n8.19	${\displaystyle \frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}}$	Jacobi 矩阵	参见1
n8.20	$\mathrm{d}f$	$f$ 的全微分	$\mathrm{d}f(x,y,\dots )={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\mathrm{d}x+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\mathrm{d}y+\dots$.
n8.21	$\delta f$	$f$ 的（无穷小）变分
n8.22	${\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x}$	$f$ 的不定积分
n8.23	${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x}$	$f$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分	也可使用 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$; 定积分还可以定义在更一般的域上．如 ${\displaystyle \underset{C}{\int }}$，${\displaystyle \underset{S}{\int }}$，${\displaystyle \underset{V}{\int }}$，${\displaystyle \oint }$, 分别表示在曲线 $C$, 曲面 $S$, 三维区域 $V$, 和闭曲线或曲面上的定积分． 多重积分可写成 ${\displaystyle \iint }$，${\displaystyle \iiint }$ 等．
n8.24	$f\ast g$	函数 $f$ 和 $g$ 的卷积	${\displaystyle (f\ast g)(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(y)g(x-y)\mathrm{d}y}$.

指数和对数函数

$x$ 可以是复数．

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n9.1	$\mathrm{e}$	自然对数的底	${\displaystyle \mathrm{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=2.7182818\dots }$; 不要写成 $e$.
n9.2	$a^x$	$x$ 的指数函数（以 $a$ 为底）	参见 n6.9.
n9.3	${\mathrm{e}}^x$; $\exp x$	$x$ 的指数函数（以 $\mathrm{e}$ 为底）
n9.4	${\log }_{a}x$	$x$ 的以 $a$ 为底的对数	当底数不需要指定的时候可以使用 $\log x$. 不应用 $\log x$ 替换 $\ln x$，$\lg x$，$\mathrm{lb}x$ 中的任意一个．
n9.5	$\ln x$	$x$ 的自然对数	$\ln x={\log }_{\mathrm{e}}x$; 参见 n9.4.
n9.6	$\lg x$	$x$ 的常用对数	$\lg x={\log }_{10}x$; 参见 n9.4.
n9.7	$\mathrm{lb}x$	$x$ 的以 $2$ 为底的对数	$\mathrm{lb}x={\log }_{2}x$; 参见 n9.4.

三角函数和双曲函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n10.1	$\pi$	圆周率	$\pi =3.1415926\dots$.
n10.2	$\sin x$	$x$ 的正弦	$\sin x={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}}$; $(\sin x{)}^n$，$(\cos x{)}^n$($n\ge 2$) 等通常写为 ${\sin }^{n}x$，${\cos }^{n}x$ 等．
n10.3	$\cos x$	$x$ 的余弦	$\cos x=\sin (x+\pi /2)$.
n10.4	$\tan x$	$x$ 的正切	$\tan x=\sin x/\cos x$; 不可使用 $\mathrm{tg}x$.
n10.5	$\cot x$	$x$ 的余切	$\cot x=1/\tan x$; 不可使用 $\mathrm{ctg}x$.
n10.6	$\sec x$	$x$ 的正割	$\sec x=1/\cos x$.
n10.7	$\csc x$	$x$ 的余割	$\csc x=1/\sin x$; 不可使用 $\mathrm{cosec}x$.
n10.8	$\arcsin x$	$x$ 的反正弦	$y=\arcsin x⟺x=\sin y(-\pi /2\le y\le \pi /2)$.
n10.9	$\arccos x$	$x$ 的反余弦	$y=\arccos x⟺x=\cos y(0\le y\le \pi )$.
n10.10	$\arctan x$	$x$ 反正切	$y=\arctan x⟺x=\tan y(-\pi /2\le y\le \pi /2)$; 不可使用 $\mathrm{arctg}x$.
n10.11	$\mathrm{arccot}x$	$x$ 反余切	$y=\mathrm{arccot}x⟺x=\cot y(0\le y\le \pi )$; 不可使用 $\mathrm{arcctg}x$.
n10.12	$\mathrm{arcsec}x$	$x$ 反正割	$y=\mathrm{arcsec}x⟺x=\sec y(0\le y\le \pi ,y\ne \pi /2)$.
n10.13	$\mathrm{arccsc}x$	$x$ 的反余割	$y=\mathrm{arccsc}x⟺x=\csc y(-\pi /2\le y\le \pi /2,y\ne 0)$; 不可使用 $\mathrm{arccosec}x$.
n10.14	$\sinh x$	$x$ 的双曲正弦	$\sinh x={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}}$; 不可使用 $\mathrm{sh}x$.
n10.15	$\cosh x$	$x$ 的双曲余弦	${\cosh }^{2}x={\sinh }^{2}x+1$; 不可使用 $\mathrm{ch}x$.
n10.16	$\tanh x$	$x$ 的双曲正切	$\tanh x=\sinh x/\cosh x$; 不可使用 $\mathrm{th}x$.
n10.17	$\coth x$	$x$ 的双曲余切	$\coth x=1/\tanh x$.
n10.18	$\mathrm{sech}x$	$x$ 的双曲正割	$\mathrm{sech}x=1/\cosh x$.
n10.19	$\mathrm{csch}x$	$x$ 的双曲余割	$\mathrm{csch}x=1/\sinh x$; 不可使用 $\mathrm{cosech}x$.
n10.20	$\mathrm{arsinh}x$	$x$ 的反双曲正弦	$y=\mathrm{arsinh}x⟺x=\sinh y$; 不可使用 $\mathrm{arsh}x$.
n10.21	$\mathrm{arcosh}x$	$x$ 的反双曲余弦	$y=\mathrm{arcosh}x⟺x=\cosh y(y\ge 0)$; 不可使用 $\mathrm{arch}x$.
n10.22	$\mathrm{artanh}x$	$x$ 的反双曲正切	$y=\mathrm{artanh}x⟺x=\tanh y$; 不可使用 $\mathrm{arth}x$.
n10.23	$\mathrm{arcoth}x$	$x$ 的反双曲余切	$y=\mathrm{arcoth}x⟺x=\coth y(y\ne 0)$.
n10.24	$\mathrm{arsech}x$	$x$ 的反双曲正割	$y=\mathrm{arsech}x⟺x=\mathrm{sech}y(y\ge 0)$.
n10.25	$\mathrm{arcsch}x$	$x$ 的反双曲余割	$y=\mathrm{arcsch}x⟺x=\mathrm{csch}y(y\ge 0)$; 不可使用 $\mathrm{arcosech}x$.

复数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n11.1	$\mathrm{i}$	虚数单位	${\mathrm{i}}^2=-1$; 不可使用 $i$ 或 i
n11.2	$\mathrm{Re}z$	$z$ 的实部	参见 n11.3.
n11.3	$\mathrm{Im}z$	$z$ 的虚部	若 $z=x+\mathrm{i}y(x,y\in \mathbf{R})$, 则 $x=\mathrm{Re}z$，$y=\mathrm{Im}z$.
n11.4	$|z|$	$z$ 的模	$|z|=\sqrt{(\mathrm{Re}z{)}^2+(\mathrm{Im}z{)}^2}$.
n11.5	$\arg z$	$z$ 的辐角	若 $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$, 其中 $r=|z|$ 且 , 则 $\phi =\arg z$. $\mathrm{Re}z=r\cos \phi$，$\mathrm{Im}z=r\sin \phi$.
n11.6	$\overline{z}$; $z^{\ast }$	$z$ 的复共轭	$\overline{z}=\mathrm{Re}z-\mathrm{i}\mathrm{Im}z$.
n11.7	$\mathrm{sgn}z$	$z$ 的单位模函数	$\mathrm{sgn}z=z/\left|z\right|=\exp (\mathrm{i}\arg z)(z\ne 0)$; $\mathrm{sgn}0=0$; 参见 n6.13.

矩阵

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n12.1	$A$; 参见2	$m\times n$ 型矩阵 $A$	$a_{ij}=(A{)}_{ij}$; 也可使用 $A=(a_{ij})$. 其中 $m$ 为行数，$n$ 为列数 $m=n$ 时称为方阵 可用方括号替代圆括号．
n12.2	$A+B$	矩阵 $A$ 和 $B$ 的和	$(A+B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}+(B{)}_{ij}$; 矩阵 $A$ 和 $B$ 的行数和列数必须分别相同．
n12.3	$xA$	标量 $x$ 和矩阵 $A$ 的乘积	$(xA{)}_{ij}=x(A{)}_{ij}$.
n12.4	$AB$	矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积	${\displaystyle (AB{)}_{ik}=\sum _j(A{)}_{ij}(B{)}_{jk}}$; 矩阵 $A$ 的列数必须等于矩阵 $B$ 的行数．
n12.5	$I$; $E$	单位矩阵	$(I{)}_{ik}={\delta }_{ik}$; ${\delta }_{ik}$ 的定义参见 n14.9.
n12.6	$A^{-1}$	方阵 $A$ 的逆	$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I(\det A\ne 0)$. $\det A$ 的定义参见 n12.10.
n12.7	$A^{\mathrm{T}}$; $A^{\prime }$	$A$ 的转置矩阵	$(A^{\mathrm{T}}{)}_{ik}=(A{)}_{ki}$.
n12.8	$\bar{A}$; $A^{\ast }$	$A$ 的复共轭矩阵	${\left(\bar{A}\right)}_{ik}=\overline{(A{)}_{ik}}$.
n12.9	$A^{\mathrm{H}}$; $A^{†}$	$A$ 的 Hermite 共轭矩阵	$A^{\mathrm{H}}={\left(\bar{A}\right)}^{\mathrm{T}}$.
n12.10	$\det A$; 参见3	方阵 $A$ 的行列式	也可使用 $|A|$.
n12.11	$\mathrm{rank}A$	矩阵 $A$ 的秩
n12.12	$\mathrm{tr}A$	方阵 $A$ 的迹	${\displaystyle \mathrm{tr}A=\sum _i(A{)}_{ii}}$.
n12.13	$\Vert A\Vert$	矩阵 $A$ 的范数	满足三角不等式：若 $A+B=C$, 则 $\Vert A\Vert +\Vert B\Vert \ge \Vert C\Vert$.

坐标系

本节考虑三维空间中的一些坐标系．点 $\mathrm{O}$ 为坐标系的 原点．任意点 $\mathrm{P}$ 均由从原点 $\mathrm{O}$ 到点 $\mathrm{P}$ 的 位置向量 确定．

编号	坐标	位置向量和微分	坐标名	备注
n13.1	$x$，$y$，$z$	$\mathit{r}=x{\mathit{e}}_x+y{\mathit{e}}_y+z{\mathit{e}}_z$; $\mathrm{d}\mathit{r}=\mathrm{d}x{\mathit{e}}_x+\mathrm{d}y{\mathit{e}}_y+\mathrm{d}z{\mathit{e}}_z$	笛卡尔坐标	基向量 ${\mathit{e}}_x$，${\mathit{e}}_y$，${\mathit{e}}_z$ 构成右手正交系，见 图 1 和 图 4． 基向量也可用 ${\mathit{e}}_1$，${\mathit{e}}_2$，${\mathit{e}}_3$ 或 $\mathit{i}$，$\mathit{j}$，$\mathit{k}$ 表示，坐标也可用 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 或 $i$，$j$，$k$ 表示．
n13.2	$\rho$，$\phi$，$z$	$\mathit{r}=\rho {\mathit{e}}_{\rho }+z{\mathit{e}}_z$; $\mathrm{d}\mathit{r}=\mathrm{d}\rho {\mathit{e}}_{\rho }+\rho \mathrm{d}\phi {\mathit{e}}_{\phi }+\mathrm{d}z{\mathit{e}}_z$	柱坐标	${\mathit{e}}_{\rho }(\phi )$，${\mathit{e}}_{\phi }(\phi )$，${\mathit{e}}_z$ 组成右手正交系，见 图 2． 若 $z=0$, 则 $\rho$ 和 $\phi$ 是平面上的极坐标．
n13.3	$r$，$\vartheta$，$\phi$	$\mathit{r}=r{\mathit{e}}_r$; $\mathrm{d}\mathit{r}=\mathrm{d}r{\mathit{e}}_r+r\mathrm{d}\vartheta {\mathit{e}}_{\vartheta }+r\sin \vartheta \mathrm{d}\phi {\mathit{e}}_{\phi }$	球坐标	${\mathit{e}}_r(\vartheta ,\phi )$，${\mathit{e}}_{\vartheta }(\vartheta ,\phi )$，${\mathit{e}}_{\phi }(\phi )$ 组成右手正交系，见 图 3．

如果不使用 右手坐标系，而使用 左手坐标系，则应在之前明确强调，以免符号误用．

图 1右手笛卡尔坐标系

图 2右手柱坐标系

图 3右手球坐标系

图 4右手坐标系

图 5左手坐标系

标量和向量

本节中，基向量用 ${\mathit{e}}_1$，${\mathit{e}}_2$，${\mathit{e}}_3$ 表示．本节中的许多概念都可以推广到 $n$ 维空间．

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关．

对于基向量 ${\mathit{e}}_1$，${\mathit{e}}_2$，${\mathit{e}}_3$, 每个向量 $\mathit{a}$ 都可以表示为 $\mathit{a}=a_1{\mathit{e}}_1+a_2{\mathit{e}}_2+a_3{\mathit{e}}_3$, 其中 $a_1$，$a_2$ 和 $a_3$ 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"，$a_1{\mathit{e}}_1$，$a_2{\mathit{e}}_2$ 和 $a_3{\mathit{e}}_3$ 称为向量相对于该组基向量的分向量．

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标．笛卡尔坐标用 $x$，$y$，$z$ 或 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 或 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 表示．

本节所有下标 $i$，$j$，$k$ 的范围均为 $1$ 到 $3$.

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n14.1	$\mathit{a}$; $\overrightarrow{a}$	向量 $\mathit{a}$
n14.2	$\mathit{a}+\mathit{b}$	向量 $\mathit{a}$ 和 $\mathit{b}$ 的和	$(\mathit{a}+\mathit{b}{)}_i=a_i+b_i$.
n14.3	$x\mathit{a}$	标量 $x$ 与向量 $\mathit{a}$ 的乘积	$(x\mathit{a}{)}_i=x{a}_i$.
n14.4	$|\mathit{a}|$	向量 $\mathit{a}$ 的大小，向量 $\mathit{a}$ 的范数	$|\mathit{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$; 也可使用 $\Vert a\Vert$.
n14.5	$\mathbf{0}$; $\overrightarrow{0}$	零向量	零向量的大小为 $0$.
n14.6	${\mathit{e}}_{\mathit{a}}$	$\mathit{a}$ 方向的单位向量	${\mathit{e}}_{\mathit{a}}=\mathit{a}/\left|\mathit{a}\right|(\mathit{a}\ne \mathbf{0})$.
n14.7	${\mathit{e}}_x$，${\mathit{e}}_y$，${\mathit{e}}_z$; ${\mathit{e}}_1$，${\mathit{e}}_2$，${\mathit{e}}_3$	笛卡尔坐标轴方向的单位向量	也可使用 $\mathit{i}$，$\mathit{j}$，$\mathit{k}$.
n14.8	$a_x$，$a_y$，$a_z$; $a_i$	向量 $\mathit{a}$ 的笛卡尔分量	$\mathit{a}=a_x{\mathit{e}}_x+a_y{\mathit{e}}_y+a_z{\mathit{e}}_z$; 如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 $\mathit{a}=(a_x,a_y,a_z)$. $a_x=\mathit{a}\cdot {\mathit{e}}_x$，$a_y=\mathit{a}\cdot {\mathit{e}}_y$，$a_z=\mathit{a}\cdot {\mathit{e}}_z$; $\mathit{r}=x{\mathit{e}}_x+y{\mathit{e}}_y+z{\mathit{e}}_z$ 是坐标为 $x$，$y$，$z$ 的位置向量．
n14.9	${\delta }_{ik}$	Kronecker delta 符号	${\delta }_{ik}=[i=k]$，其中 $[\cdot ]$ 的定义参见 n6.24，即： ${\delta }_{ik}=1(i=k)$; ${\delta }_{ik}=0(i\ne k)$.
n14.10	${\epsilon }_{ijk}$	Levi-Civita 符号	${\epsilon }_{123}={\epsilon }_{231}={\epsilon }_{312}=1$; ${\epsilon }_{132}={\epsilon }_{321}={\epsilon }_{213}=-1$; 其余的 ${\epsilon }_{ijk}$ 均为 $0$.
n14.11	$\mathit{a}\cdot \mathit{b}$	向量 $\mathit{a}$ 和 $\mathit{b}$ 的标量积/内积	${\displaystyle \mathit{a}\cdot \mathit{b}=\sum _i{a}_i{b}_i}$.
n14.12	$\mathit{a}\times \mathit{b}$	向量 $\mathit{a}$ 和 $\mathit{b}$ 的向量积/外积	右手笛卡尔坐标系中，${\displaystyle (\mathit{a}\times \mathit{b}{)}_i=\sum _j\sum _k{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k}$; ${\epsilon }_{ijk}$ 的定义参见 n14.10.
n14.13	$\mathrm{\nabla }$	nabla 算子	${\displaystyle \mathrm{\nabla }={\mathit{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\mathit{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\mathit{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}=\sum _i{\mathit{e}}_i\frac{\partial }{\partial x_i}}$.
n14.14	$\mathrm{\nabla }\phi$; $\mathbf{grad}\phi$	$\phi$ 的梯度	${\displaystyle \mathrm{\nabla }\phi =\sum _i{\mathit{e}}_i\frac{\partial \phi }{\partial x_i}}$; $\mathbf{grad}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{grad}}.
n14.15	$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{a}$; $\mathbf{div}\mathit{a}$	$\mathit{a}$ 的散度	${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{a}=\sum _i\frac{\partial a_i}{\partial x_i}}$; $\mathbf{div}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{div}}.
n14.16	$\mathrm{\nabla }\times \mathit{a}$; $\mathbf{rot}\mathit{a}$	$\mathit{a}$ 的旋度	${\displaystyle (\mathrm{\nabla }\times \mathit{a}{)}_i=\sum _j\sum _k{\epsilon }_{ijk}\frac{\partial a_k}{\partial x_j}}$; $\mathbf{rot}$ 应使用 \operatorname{\mathbf{rot}}. 不应使用 $\mathbf{curl}$. ${\epsilon }_{ijk}$ 的定义参见 n14.10.
n14.17	${\mathrm{\nabla }}^2$; $\mathrm{\Delta }$	Laplace 算子	${\mathrm{\nabla }}^2={\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}}+{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial y^2}}+{\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial z^2}}$.

特殊函数

本节中的 $z$，$w$ 是复数，$k$，$n$ 是自然数，且 $k\le n$．

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n15.1	$\gamma$	Euler–Mascheroni 常数	${\displaystyle \gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)=0.5772156\dots }$.
n15.2	$\mathrm{\Gamma }(z)$	gamma 函数	; $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$.
n15.3	$\zeta (z)$	Riemann zeta 函数	.
n15.4	$\mathrm{B}(z,w)$	beta 函数	，; $\mathrm{B}(z,w)={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(w)}{\mathrm{\Gamma }(z+w)}}$; ${\displaystyle \frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(k+1,n-k+1)}}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$.

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1. ; 矩阵的定义参见 n12.1 ↩

2.  ↩

3.  ↩

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