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同余方程

定义

同余方程

对正整数 m 和一元整系数多项式 f(x)=i=0naixi,其中未知数 xZm,称形如

(1)f(x)0(modm)

的方程为关于未知数 x 的模 m 的一元 同余方程(Congruence Equation)。

an0(modm),则称上式为 n 次同余方程。

类似可定义同余方程组。

关于一次同余方程与方程组的相关内容请参见 线性同余方程中国剩余定理

本文首先研究同余方程的可解性和解集结构,之后会简要介绍高次同余方程的解法。

中国剩余定理 可知,求解关于模合数 m 的同余方程可转化为求解模素数幂次的情况。故以下只介绍素数幂模同余方程和素数模同余方程的相关理论。

素数幂模同余方程

以下假设模数 m=pa (pP,aZ>1).

注意到若 x0 是方程

f(x)0(modpa)

的解,则 x0 是方程

f(x)0(modpa1)

的解,这启发我们尝试通过较低的模幂次的解去构造较高的模幂次的解。我们有如下定理:

定理 1

对素数 p 和整数 a>1,取整系数多项式 f(x)=i=0naixi (paan),令 f(x)=i=1niaixi1 为其导数。令 x0 为方程

(2)f(x)0(modpa1)

的解,则:

  1. f(x0)0(modp), 则存在整数 t 使得

    (3)x=x0+pa1t

    是方程

    (4)f(x)0(modpa)

    的解。

  2. f(x0)0(modp)f(x0)0(modpa), 则对 t=0,1,,p1,由式 (3) 确定的 x 均为方程 (4) 的解。

  3. f(x0)0(modp)f(x0)0(modpa), 则不能由式 (3) 构造方程 (4) 的解。

证明

我们假设式 (3) 是方程 (4) 的解,即

f(x0+pa1t)0(modpa)

整理后可得

f(x0)+pa1tf(x0)0(modpa)

于是

(5)tf(x0)f(x0)pa1(modp)
  1. f(x0)0(modp),则关于 t 的方程 (5) 有唯一解 t0,代入式 (3) 可验证其为方程 (4) 的解。
  2. f(x0)0(modp)f(x0)0(modpa),则任意 t 均能使方程 (5) 成立,代入式 (3) 可验证其均为方程 (4) 的解。
  3. f(x0)0(modp)f(x0)0(modpa),则方程 (5) 无解,从而不能由式 (3) 构造方程 (4) 的解。

进而我们有推论:

推论 1

定理 1paf(x)x0

  1. s 是方程 f(x)0(modp) 的解,且 f(a)0(modp),则存在 xsZpaxss(modp) 使得 xs 是方程 (4) 的解。
  2. 若方程 f(x)0(modp)f(a)0(modp) 无公共解,则方程 (4) 和方程 f(x)0(modp) 的解数相同。

从而我们可以将素数幂模同余方程化归到素数模同余方程的情况。

素数模同余方程

以下令 pP,整系数多项式 f(x)=i=0naixi,其中 panxZp.

定理 2

若方程

(6)f(x)0(modp)

k 个不同的解 x1,x2,,xk (kn),则:

f(x)g(x)i=1k(xxi)(modp)

其中 degg=nk[xnk]g(x)=an.

证明

k 应用数学归纳法。

  • k=1 时,做多项式带余除法,有 f(x)=(xx1)g(x)+r,其中 rZ.

    f(x1)0(modp) 可知 r0(modp),从而 f(x)(xx1)g(x)(modp).

  • 假设命题对 k1(k>1) 时的情况成立,现在设 f(x)k 个不同的解 x1,x2,,xk, 则 f(x)(xx1)h(x)(modp), 进而有

    (i=2,3,,k),  0f(xi)(xix1)h(xi)(modp)

    从而 h(x)k1 个不同的解 x2,x3,,xk, 由归纳假设有

    h(x)g(x)i=2k(xxi)(modp)

    其中 degg=nk[xnk]g(x)=an.

    因此命题得证。

推论 2

对素数 p

  • (xZ),  xp11i=1p1(xi)(modp)
  • Wilson 定理(p1)!1(modp)

定理 3(Lagrange 定理)

方程 (6) 至多有 n 个不同解。

证明

假设 f(x)n+1 个不同解 x1,x2,,xn+1,则由 定理 2,对 x1,x2,,xn

f(x)ani=1n(xxi)(modp)

x=xn+1, 则

0f(xn+1)ani=1n(xn+1xi)(modp)

而右侧显然不是 p 的倍数,因此假设矛盾。

推论 3

若同余方程 i=0nbixi0(modp) 的解数大于 n,则

(i=0,1,,n),  pbi

定理 4

方程 (6) 若解的个数不为 p,则必存在满足 $\deg r