离散对数

定义

前置知识：阶与原根。

离散对数的定义方式和对数类似。取有原根的正整数模数 $m$ ，设其一个原根为 $g$ . 对满足 $(a, m) = 1$ 的整数 $a$ ，我们知道必存在唯一的整数 $0 \leq k < φ (m)$ 使得

g^{k} \equiv a (\mod m)

我们称这个 $k$ 为以 $g$ 为底，模 $m$ 的离散对数，记作 $k = {ind}_{g} a$ ，在不引起混淆的情况下可记作 $ind a$ .

显然 ${ind}_{g} 1 = 0$ ， ${ind}_{g} g = 1$ .

性质

离散对数的性质也和对数有诸多类似之处。

性质

设 $g$ 是模 $m$ 的原根， $(a, m) = (b, m) = 1$ ，则：

${ind}_{g} (a b) \equiv {ind}_{g} a + {ind}_{g} b (\mod φ (m))$

进而 $(\forall n \in N), {ind}_{g} a^{n} \equiv n {ind}_{g} a (\mod φ (m))$
若 $g_{1}$ 也是模 $m$ 的原根，则 ${ind}_{g} a \equiv {ind}_{g_{1}} a \cdot {ind}_{g} g_{1} (\mod φ (m))$
$a \equiv b (\mod m) ⟺ {ind}_{g} a = {ind}_{g} b$

证明

$g^{{ind}_{g} (a b)} \equiv a b \equiv g^{{ind}_{g} a} g^{{ind}_{g} b} \equiv g^{{ind}_{g} a + {ind}_{g} b} (\mod m)$
令 $x = {ind}_{g_{1}} a$ ，则 $a \equiv g_{1}^{x} (\mod m)$ . 又令 $y = {ind}_{g} g_{1}$ ，则 $g_{1} \equiv g^{y} (\mod m)$ .

故 $a \equiv g^{x y} (\mod m)$ ，即 ${ind}_{g} a \equiv x y \equiv {ind}_{g_{1}} a \cdot {ind}_{g} g_{1} (\mod φ (m))$
注意到
$\begin{aligned} {ind}_{g} a = {ind}_{g} b & ⟺ {ind}_{g} a \equiv {ind}_{g} b (\mod φ (m)) \\ ⟺ g^{{ind}_{g} a} \equiv g^{{ind}_{g} b} (\mod m) \\ ⟺ a \equiv b (\mod m) \end{aligned}$

大步小步算法

目前离散对数问题仍不存在多项式时间经典算法（离散对数问题的输入规模是输入数据的位数）。在密码学中，基于这一点人们设计了许多非对称加密算法，如 Ed25519。

在算法竞赛中，BSGS（baby-step giant-step，大步小步算法）常用于求解离散对数问题。形式化地说，对 $a, b, m \in Z^{+}$ ，该算法可以在 $O (\sqrt{m})$ 的时间内求解

a^{x} \equiv b (\mod m)

其中 $a ⟂ m$ 。方程的解 $x$ 满足 $0 \leq x < m$ .（注意 $m$ 不一定是素数）

算法描述

令 $x = A ⌈ \sqrt{m} ⌉ - B$ ，其中 $0 \leq A, B \leq ⌈ \sqrt{m} ⌉$ ，则有 $a^{A ⌈ \sqrt{m} ⌉ - B} \equiv b (\mod m)$ ，稍加变换，则有 $a^{A ⌈ \sqrt{m} ⌉} \equiv b a^{B} (\mod m)$ .

我们已知的是 $a, b$ ，所以我们可以先算出等式右边的 $b a^{B}$ 的所有取值，枚举 $B$ ，用 hash/map 存下来，然后逐一计算 $a^{A ⌈ \sqrt{m} ⌉}$ ，枚举 $A$ ，寻找是否有与之相等的 $b a^{B}$ ，从而我们可以得到所有的 $x$ ， $x = A ⌈ \sqrt{m} ⌉ - B$ .

注意到 $A, B$ 均小于 $⌈ \sqrt{m} ⌉$ ，所以时间复杂度为 $Θ (\sqrt{m})$ ，用 map 则多一个 $\log$ .

为什么要求

a

与

m

互质

注意到我们求出的是 $A, B$ ，我们需要保证从 $a^{A ⌈ \sqrt{m} ⌉} \equiv b a^{B} (\mod m)$ 可以推回 $a^{A ⌈ \sqrt{m} ⌉ - B} \equiv b (\mod m)$ ，后式是前式左右两边除以 $a^{B}$ 得到，所以必须有 $a^{B} ⟂ m$ 即 $a ⟂ m$ .

进阶篇

对 $a, b \in Z^{+}$ ， $p \in P$ ，求解

x^{a} \equiv b (\mod p)

该问题可以转化为 BSGS 求解的问题。

由于式子中的模数 $p$ 是一个质数，那么 $p$ 一定存在一个原根 $g$ . 因此对于模 $p$ 意义下的任意的数 $x~(1\le x

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