Lagrange 反演
形式 Laurent 级数
我们已经知道形式幂级数环 ℂ[[𝑥]]
了,定义形式 Laurent 级数环:
ℂ((𝑥)):={∑𝑘≥𝑁𝑎𝑘𝑥𝑘:𝑁∈ℤ,𝑎𝑘∈ℂ}
我们可以仿照形式幂级数的乘法逆元定义来定义 ℂ((𝑥))
上元素的乘法逆元:
若对于 𝑓 :=∑𝑘≥𝑁𝑓𝑘𝑥𝑘
且 𝑓𝑁 ≠0
存在 𝑔 =∑𝑘≥−𝑁𝑔𝑘𝑥𝑘
满足 𝑓𝑔 =1
那么
𝑔𝑘:={𝑓−1𝑁, if 𝑘=−𝑁,−𝑓−1𝑁∑𝑖>𝑁𝑓𝑖𝑔𝑘−𝑖, otherwise
与形式幂级数类似的,我们也对非零的 𝑓(𝑥) =∑𝑘≥𝑁𝑓𝑘𝑥𝑘
定义:
ord𝑓:=min{𝑘:𝑓𝑘≠0}
显然对于 𝑔 ≠0
有
ord(𝑓𝑔)=ord(𝑓)+ord(𝑔)
形式留数
形式留数是形式 Laurent 级数中 𝑥−1
项的系数。记 res𝑓 :=[𝑥−1]𝑓
。
引理:对于任何形式 Laurent 级数 𝑓
有 res𝑓′ =0
。
证明:考虑形式导数的定义 (𝑥𝑘)′ =𝑘𝑥𝑘−1
。
引理:对于任何形式 Laurent 级数 𝑓,𝑔
有 res(𝑓′𝑔) = −res(𝑓𝑔′)
。
证明:考虑乘法法则 (𝑓𝑔)′ =𝑓′𝑔 +𝑓𝑔′
所以 0 =res((𝑓𝑔)′) =res(𝑓′𝑔) +res(𝑓𝑔′)
。
引理:对于形式 Laurent 级数 𝑓(𝑥) ≠0
有 res(𝑓′/𝑓) =ord𝑓
。
证明:设 ord𝑓 =𝑘
那么
res(𝑓′𝑓)=res(𝑘𝑓𝑘𝑥𝑘−1+⋯𝑓𝑘𝑥𝑘+𝑓𝑘+1𝑥𝑘+1+⋯)=res(𝑘𝑓𝑘𝑥−1+⋯𝑓𝑘+𝑓𝑘+1𝑥+⋯)=𝑘
引理:对于形式 Laurent 级数 𝑓
和形式幂级数 𝑔 ≠0
有 res(𝑓)ord(𝑔) =res(𝑓(𝑔)𝑔′)
。
证明:考虑线性性,我们只需证明 𝑓 =𝑥𝑘
其中 𝑘 ∈ℤ
的情况即可,若 𝑘 ≠ −1
那么
res𝑥𝑘=0res(𝑔𝑘𝑔′)=res(1𝑘+1(𝑔𝑘+1)′)=1𝑘+1res((𝑔𝑘+1)′)=0
若 𝑘 = −1
那么
res𝑓=res(𝑥−1)=1res(𝑓(𝑔)𝑔′)=res(𝑔′/𝑔)=ord(𝑔)=res(𝑓)ord(𝑔)
复合逆
记 𝐴(𝑥) ∘𝐵(𝑥) :=𝐴(𝐵(𝑥))
。
命题:𝑓(𝑥) :=∑𝑘≥1𝑓𝑘𝑥𝑘
存在复合逆 𝑓⟨−1⟩(𝑥)
当且仅当 𝑓(0) =0 ≠𝑓′(0)
,此时 𝑓⟨−1⟩(𝑥)
是唯一的。进一步说:若 𝑔(𝑥) =∑𝑘≥1𝑔𝑘𝑥𝑘
满足 𝑓(𝑔(𝑥)) =𝑥
或 𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑥
那么 𝑔(𝑥) =𝑓⟨−1⟩(𝑥)
。
证明:考虑
𝑔(𝑓(𝑥))=𝑔1(𝑓1𝑥+𝑓2𝑥2+𝑓3𝑥3+⋯)+𝑔2(𝑓1𝑥+𝑓2𝑥2+⋯)2+𝑔3(𝑓1𝑥+⋯)3+⋯=𝑔1𝑓1𝑥+(𝑔1𝑓2+𝑔2𝑓21)𝑥2+(𝑔1𝑓3+2𝑔2𝑓1𝑓2+𝑔3𝑓31)𝑥3+⋯
因为 𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑥
所以有下面的方程组
⎧{
{
{⎨{
{
{⎩𝑔1𝑓1=1𝑔1𝑓2+𝑔2𝑓21=0𝑔1𝑓3+2𝑔2𝑓1𝑓2+𝑔3𝑓31=0⋮
我们只能在 𝑓1 ≠0
时才能解出第一个等式,然后依次可以解出 𝑔2,…
。
特别的,考虑 𝑓(ℎ(𝑥)) =𝑥
那么 𝑔(𝑓(ℎ(𝑥))) =𝑔(𝑥)
,进而 𝑔(𝑥) =𝑔 ∘𝑓 ∘ℎ(𝑥) =𝑥 ∘ℎ(𝑥) =ℎ(𝑥)
。
Lagrange 反演公式
令 𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∈ℂ[[𝑥]]
满足 𝑓(𝑔(𝑥)) =𝑔(𝑓(𝑥)) =𝑥
。取 Φ(𝑥) ∈ℂ[[𝑥]]
(或 Φ(𝑥) ∈ℂ((𝑥))
),那么
[𝑥𝑛]Φ(𝑓(𝑥))=[𝑥𝑛−1]Φ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)(𝑥𝑔(𝑥))𝑛=[𝑥−1]Φ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛+1
证明:
[𝑥𝑛]Φ(𝑓(𝑥))=res(Φ(𝑓(𝑥))𝑥𝑛+1)=res(Φ(𝑓(𝑔(𝑥)))𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛+1)⋅(ord(𝑔(𝑥)))−1=res(Φ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛+1)
一些读者可能会更加熟悉下面的版本:对于 𝑘 ∈ℤ≥0,𝑛 ∈ℤ>0
有
[𝑥𝑛]𝑓(𝑥)𝑘=𝑘𝑛[𝑥𝑛−𝑘](𝑥𝑔(𝑥))𝑛
或者
[𝑥𝑛]Φ(𝑓(𝑥))=1𝑛[𝑥𝑛−1]Φ′(𝑥)(𝑥𝑔(𝑥))𝑛=1𝑛[𝑥−1]Φ′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛
发现
res(Φ′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛−𝑛Φ(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛+1)=res((Φ(𝑥)𝑔(𝑥)𝑛)′)=0
可以通过我们已经证明的部分导出。
参考文献
- Richard P. Stanley and Sergey P. Fomin. Enumerative Combinatorics Volume 2 (Edition 1).
- Ira M. Gessel. Lagrange Inversion.
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