快速数论变换

简介

数论变换（number-theoretic transform, NTT）是离散傅里叶变换（DFT）在数论基础上的实现；快速数论变换（fast number-theoretic transform, FNTT）是 快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现．

数论变换 是一种计算卷积（convolution）的快速算法．最常用算法就包括了前文提到的快速傅里叶变换．然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，举例来说，资料向量必须乘上复数系数的矩阵加以处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大．

NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大．目前最常见的模数是 998244353．

前置知识

学习数论变换需要前置知识：离散傅里叶变换、生成子群、原根、离散对数．相关知识可以在对应页面中学习，此处不再赘述．

定义

数论变换

在数学中，NTT 是关于任意 环 上的离散傅立叶变换（DFT）．在有限域的情况下，通常称为数论变换（NTT）．

数论变换（NTT）是通过将离散傅立叶变换化为 $F=\mathbb{Z}/p$，整数模质数 $p$．这是一个 有限域，只要 $n$ 可除 $p-1$，就存在本原 $n$ 次方根，所以我们有 $p=\xi n+1$ 对于 正整数 $\xi$．具体来说，对于质数 $p=qn+1,(n=2^m)$，原根 $g$ 满足 $g^{qn}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, 将 $g_n=g^q(\mathrm{mod}p)$ 看做 ${\omega }_n$ 的等价，则其满足相似的性质，比如 $g_n^n\equiv 1(\mathrm{mod}p),g_n^{n/2}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$．

因为这里涉及到数论变化，所以 $N$（为了区分 FFT 中的 $n$，我们把这里的 $n$ 称为 $N$）可以比 FFT 中的 $n$ 大，但是只要把 $\frac{qN}{n}$ 看做这里的 $q$ 就行了，能够避免大小问题．

常见的有：

$$p=167772161=5\times 2^{25}+1,g=3$$ $$p=469762049=7\times 2^{26}+1,g=3$$ $$p=754974721=3^2\times 5\times 2^{24}+1,g=11$$ $$p=998244353=7\times 17\times 2^{23}+1,g=3$$ $$p=1004535809=479\times 2^{21}+1,g=3$$

就是 $g^{qn}$ 的等价 ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}n}$．

迭代到长度 $l$ 时 $g_l=g^{\frac{p-1}{l}}$，或者 ${\omega }_n=g_l=g_N^{\frac{N}{l}}=g_N^{\frac{p-1}{l}}$．

快速数论变换

快速数论变换（FNTT）是数论变换（NTT）增加分治操作之后的快速算法．

快速数论变换使用的分治办法，与快速傅里叶变换使用的分治办法完全一致．这意味着，只需在快速傅里叶变换的代码基础上进行简单修改，即可得到快速数论变换的代码．

在算法竞赛中常提到的 NTT 一词，往往实际指的是快速数论变换，一般默认「数论变换」是指「快速数论变换」．

这样简写的逻辑与快速傅里叶变换相似．事实上，「快速傅里叶变换」（FFT）一词指的是「快速离散傅里叶变换」（FDFT），但由于「快速」只能作用于离散，甚至是本原单位根阶数为 $2$ 的幂的特殊情形，不能作用于连续，因此「离散」一词被省略掉，FDFT 变为 FFT，即 FFT 永远指的是特殊的离散情形．

数论变换或快速数论变换是在取模意义下进行的操作，不存在连续的情形，永远是离散的，自然也无需提到离散一词．

在算法领域，不进行提速的操作是无意义的．在快速傅里叶变换中介绍 DFT 一词，是因为 DFT 在信号处理、图像处理领域也有其他的具体应用，同时 DFT 也是 FFT 的原理或前置知识．

在不引起混淆的情形下，常用 NTT 来代指 FNTT．为了不引起下文进一步介绍的混淆，下文的 NTT 与 FNTT 两个词进行了分离．

DFT、FFT、NTT、FNTT 的具体关系是：

• 在 DFT 与 NTT 的基础上，增加分治操作，得到 FFT 与 FNTT．分治操作的办法与原理，可以参见快速傅里叶变换一文．

• 在 DFT 与 FFT 的基础上，将复数加法与复数乘法替换为模 $p$ 意义下的加法和乘法，一般大小限制在 $0$ 到 $p-1$ 之间；将本原单位根改为模 $p$ 意义下的相同阶数的本原单位根，阶数为 $2$ 的幂，即可得到 NTT 与 FNTT．

由于替换的运算只涉及加法和乘法，因此 DFT、FFT、NTT、FNTT 拥有相同的原理，均在满足加法与乘法的环上进行，无需域上满足除法运算的更加严格的条件．

事实上，只要拥有原根，即群论中的生成元，该模数下的 NTT 或 FNTT 即可进行．考虑到模数为 $1$、$2$ 和 $4$ 的情形太小，不具有实际意义，对于奇素数 $p$ 和正整数 $\alpha$，只要给出模数为 $p^{\alpha }$ 和 $2p^{\alpha }$ 的原根 $g$，采用同样的办法，则 NTT 或 FNTT 仍然可以进行．

模板

Library Checker - Convolution

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;

constexpr int N = 1 << 20, P = 998244353;

int qpow(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = 1ll * res * x % P;
    x = 1ll * x * x % P;
    y >>= 1;
  }
  return res;
}

int r[N];

void ntt(int *x, int lim, int opt) {
  for (int i = 0; i < lim; ++i)
    if (r[i] < i) swap(x[i], x[r[i]]);
  for (int m = 2; m <= lim; m <<= 1) {
    int k = m >> 1;
    int gn = qpow(3, (P - 1) / m);
    for (int i = 0; i < lim; i += m) {
      int g = 1;
      for (int j = 0; j < k; ++j, g = 1ll * g * gn % P) {
        int tmp = 1ll * x[i + j + k] * g % P;
        x[i + j + k] = (x[i + j] - tmp + P) % P;
        x[i + j] = (x[i + j] + tmp) % P;
      }
    }
  }
  if (opt == -1) {
    reverse(x + 1, x + lim);
    int inv = qpow(lim, P - 2);
    for (int i = 0; i < lim; ++i) x[i] = 1ll * x[i] * inv % P;
  }
}

int A[N], B[N], C[N];

int main() {
  int n, m;
  scanf("%d %d", &n, &m);
  for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &A[i]);
  for (int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &B[i]);
  int N = max(n, m), lim = 1;
  while (lim < (N << 1)) lim <<= 1;
  for (int i = 0; i < lim; ++i) r[i] = (i & 1) * (lim >> 1) + (r[i >> 1] >> 1);
  ntt(A, lim, 1);
  ntt(B, lim, 1);
  for (int i = 0; i < lim; ++i) C[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P;
  ntt(C, lim, -1);
  for (int i = 0; i < n + m - 1; i++)
    printf("%d%c", C[i], " \n"[i == n + m - 2]);
  return 0;
}

参考资料与拓展阅读

1. FWT（快速沃尔什变换）零基础详解 qaq（ACM/OI）
2. FFT（快速傅里叶变换）0 基础详解！附 NTT（ACM/OI）
3. Number-theoretic transform(NTT) - Wikipedia
4. Tutorial on FFT/NTT—The tough made simple. (Part 1)
5. NTT 模板 - BlackJack_ CSDN 博客

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