并查集复杂度

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定义

阿克曼函数

这里，先给出 $α (n)$ 的定义。为了给出这个定义，先给出 $A_{k} (j)$ 的定义。

定义 $A_{k} (j)$ 为：

A_{k} (j) = {\begin{aligned} j + 1 & k = 0 \\ A_{k - 1}^{(j + 1)} (j) & k \geq 1 \end{aligned}

即阿克曼函数。

这里， $f^{i} (x)$ 表示将 $f$ 连续应用在 $x$ 上 $i$ 次，即 $f^{0} (x) = x$ ， $f^{i} (x) = f (f^{i - 1} (x))$ 。

再定义 $α (n)$ 为使得 $A_{α (n)} (1) \geq n$ 的最小整数值。注意，我们之前将它描述为 $A_{α (n)} (α (n)) \geq n$ ，反正他们的增长速度都很慢，值都不超过 4。

基础定义

每个节点都有一个 rank。这里的 rank 不是节点个数，而是深度。节点的初始 rank 为 0，在合并的时候，如果两个节点的 rank 不同，则将 rank 小的节点合并到 rank 大的节点上，并且不更新大节点的 rank 值。否则，随机将某个节点合并到另外一个节点上，将根节点的 rank 值 +1。这里根节点的 rank 给出了该树的高度。记 x 的 rank 为 $r n k (x)$ ，类似的，记 x 的父节点为 $f a (x)$ 。我们总有 $r n k (x) + 1 \leq r n k (f a (x))$ 。

为了定义势函数，需要预先定义一个辅助函数 $l e v e l (x)$ 。其中， $l e v e l (x) = max (k : r n k (f a (x)) \geq A_{k} (r n k (x)))$ 。当 $r n k (x) \geq 1$ 的时候，再定义一个辅助函数 $i t e r (x) = max (i : r n k (f a (x)) \geq A_{l e v e l (x)}^{i} (r n k (x))$ 。这些函数定义的 $x$ 都满足 $r n k (x) > 0$ 且 $x$ 不是某个树的根。

上面那些定义可能让你有点头晕。再理一下，对于一个 $x$ 和 $f a (x)$ ，如果 $r n k (x) > 0$ ，总是可以找到一对 $i, k$ 令 $r n k (f a (x)) \geq A_{k}^{i} (r n k (x))$ ，而 $l e v e l (x) = max (k)$ ，在这个前提下， $i t e r (x) = max (i)$ 。 $l e v e l$ 描述了 $A$ 的最大迭代级数，而 $i t e r$ 描述了在最大迭代级数时的最大迭代次数。

对于这两个函数， $l e v e l (x)$ 总是随着操作的进行而增加或不变，如果 $l e v e l (x)$ 不增加， $i t e r (x)$ 也只会增加或不变。并且，它们总是满足以下两个不等式：

0 \leq l e v e l (x) < α (n)

1 \leq i t e r (x) \leq r n k (x)

考虑 $l e v e l (x)$ 、 $i t e r (x)$ 和 $A_{k}^{j}$ 的定义，这些很容易被证明出来，就留给读者用于熟悉定义了。

定义势能函数 $Φ (S) = \sum_{x \in S} Φ (x)$ ，其中 $S$ 表示一整个并查集，而 $x$ 为并查集中的一个节点。定义 $Φ (x)$ 为：

Φ (x) = {\begin{cases} α (n) \times rnk (x) & rnk (x) = 0 或 x 为某棵树的根节点 \\ (α (n) - level (x)) \times rnk (x) - i t e r (x) & otherwise \end{cases}

然后就是通过操作引起的势能变化来证明摊还时间复杂度为 $Θ (α (n))$ 啦。注意，这里我们讨论的 $u n i o n (x, y)$ 操作保证了 $x$ 和 $y$ 都是某个树的根，因此不需要额外执行 $f i n d (x)$ 和 $f i n d (y)$ 。

可以发现，势能总是个非负数。另，在开始的时候，并查集的势能为 $0$ 。

证明

union(x,y) 操作

其花费的时间为 $Θ (1)$ ，因此我们考虑其引起的势能的变化。

这里，我们假设 $r n k (x) \leq r n k (y)$ ，即 $x$ 被接到 $y$ 上。这样，势能增加的节点仅有 $x$ （从树根变成非树根）， $y$ （秩可能增加）和操作前 $y$ 的子节点（父节点的秩可能增加）。我们先证明操作前 $y$ 的子节点 $c$ 的势能不可能增加，并且如果减少了，至少减少 $1$ 。

设操作前 $c$ 的势能为 $Φ (c)$ ，操作后为 $Φ (c^{'})$ ，这里 $c$ 可以是任意一个 $r n k (c) > 0$ 的非根节点，操作可以是任意操作，包括下面的 find 操作。我们分三种情况讨论。

$i t e r (c)$ 和 $l e v e l (c)$ 并未增加。显然有 $Φ (c) = Φ (c^{'})$ 。
$i t e r (c)$ 增加了， $l e v e l (c)$ 并未增加。这里 $i t e r (c)$ 至少增加一，即 $Φ (c^{'}) \leq Φ (c) - 1$ ，势能函数减少了，并且至少减少 1。
$l e v e l (c)$ 增加了， $i t e r (c)$ 可能减少。但是由于 $0

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