LGV 引理
简介
Lindström–Gessel–Viennot lemma,即 LGV 引理,可以用来处理有向无环图上不相交路径计数等问题。
前置知识:图论相关概念 中的基础部分、矩阵、高斯消元求行列式。
LGV 引理仅适用于 有向无环图。
定义
表示
这条路径上所有边的边权之积。(路径计数时,可以将边权都设为
)(事实上,边权可以为生成函数)
表示
到
的 每一条 路径
的
之和,即
。
起点集合
,是有向无环图点集的一个子集,大小为
。
终点集合
,也是有向无环图点集的一个子集,大小也为
。
一组
的不相交路径
:
是一条从
到
的路径(
是一个排列),对于任何
,
和
没有公共顶点。
表示排列
的逆序对个数。
引理
其中
表示满足上文要求的
的每一组不相交路径
。
证明
由行列式定义可得
观察到
,实际上是所有从
到
排列为
的路径组
的
之和。
此处
为任意路径组。
设
为不相交路径组,
为相交路径组,
设
中存在一个相交路径组
,则必然存在和它相对的一个相交路径组
,
的其他路径与
相同。可得
。
因此我们有
。
则
。
证毕[^1]。
例题
例 1 CF348D Turtles
题意:有一个
的格点棋盘,其中某些格子可走,某些格子不可走。有一只海龟从
只能走到
和
的位置,求海龟从
到
的不相交路径数对
取模之后的结果。
。
比较直接的 LGV 引理的应用。考虑所有合法路径,发现从
出发一定要经过
,而到达终点一定要经过
,则
可立即选定。应用 LGV 引理可得答案为:
其中
为图上
的路径数,带有障碍格点的路径计数问题可以直接做一个
的 dp,则
易求。最终复杂度
。
参考代码
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51 | #include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
using ll = long long;
constexpr int MOD = 1e9 + 7;
constexpr int SIZE = 3010;
string board[SIZE];
int dp[SIZE][SIZE];
int f(int x1, int y1, int x2, int y2) {
memset(dp, 0, sizeof dp);
dp[x1][y1] = board[x1][y1] == '.';
for (int i = 1; i <= x2; i++) {
for (int j = 1; j <= y2; j++) {
if (board[i][j] == '#') {
continue;
}
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j]) % MOD;
dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - 1]) % MOD;
}
}
return dp[x2][y2] % MOD;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> board[i];
board[i] = " " + board[i];
}
ll f11 = f(1, 2, n - 1, m);
ll f12 = f(1, 2, n, m - 1);
ll f21 = f(2, 1, n - 1, m);
ll f22 = f(2, 1, n, m - 1);
ll ans = ((f11 * f22) % MOD - (f12 * f21) % MOD + MOD) % MOD;
cout << ans << '\n';
return 0;
}
|
例 2 HDU 5852 Intersection is not allowed!
题意:有一个
的棋盘,一个棋子从
只能走到
或
,有
个棋子,一开始第
个棋子放在
,最终要到
,路径要两两不相交,求方案数对
取模。
,
,保证 $1\le a_1
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