树哈希
判断一些树是否同构的时，我们常常把这些树转成哈希值储存起来，以降低复杂度。
树哈希是很灵活的，可以设计出各种各样的哈希方式；但是如果随意设计，很有可能是错误的，可能被卡。以下介绍一类容易实现且不易被卡的方法。
方法
这类方法需要一个多重集的哈希函数。以某个结点为根的子树的哈希值，就是以它的所有儿子为根的子树的哈希值构成的多重集的哈希值，即：
其中 表示以 为根的子树的哈希值， 是多重集的哈希函数。
以代码中使用的哈希函数为例：
其中 为常数，一般使用 即可。 为模数，一般使用 或 进行自然溢出，也可使用大素数。 为整数到整数的映射，代码中使用 xor shift，也可以选用其他的函数，但是不建议使用多项式。为了预防出题人对着 xor hash 卡，还可以在映射前后异或一个随机常数。
这种哈希十分好写。如果需要换根，第二次 DP 时只需把子树哈希减掉即可。
例题
这是一道模板题。不用多说，以 为根跑一遍 DFS 就好了。
参考代码
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53 | #include <cctype>
#include <iostream>
#include <random>
#include <set>
#include <vector>
using ull = unsigned long long;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
ull shift(ull x) {
x ^= mask;
x ^= x << 13;
x ^= x >> 7;
x ^= x << 17;
x ^= mask;
return x;
}
constexpr int N = 1e6 + 10;
int n;
ull hash[N];
std::vector<int> edge[N];
std::set<ull> trees;
void getHash(int x, int p) {
hash[x] = 1;
for (int i : edge[x]) {
if (i == p) {
continue;
}
getHash(i, x);
hash[x] += shift(hash[i]);
}
trees.insert(hash[x]);
}
using std::cin;
using std::cout;
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
cin >> n;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
edge[u].push_back(v);
edge[v].push_back(u);
}
getHash(1, 0);
cout << trees.size();
}
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这道题所说的同构是指无根树的，而上面所介绍的方法是针对有根树的。因此只有当根一样时，同构的两棵无根树哈希值才相同。由于数据范围较小，我们可以暴力求出以每个点为根时的哈希值，排序后比较。
如果数据范围较大，我们也可以使用换根 DP，遍历树两遍，求出以每个点为根时的哈希值。我们还可以利用上面的多重集哈希函数：把以每个结点为根时的哈希值都存进多重集，再把多重集的哈希值算出来，进行比较（做法一）。
还可以通过找重心的方式来优化复杂度。一棵树的重心最多只有两个，只需把以它（们）为根时的哈希值求出来即可。接下来，既可以分别比较这些哈希值（做法二），也可以在有一个重心时取它的哈希值作为整棵树的哈希值，有两个时则取其中较小（大）的。
做法一
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73 | #include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
using ull = unsigned long long;
constexpr int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
ull shift(ull x) {
x ^= mask;
x ^= x << 13;
x ^= x >> 7;
x ^= x << 17;
x ^= mask;
return x;
}
std::vector<int> edge[N];
ull sub[N], root[N];
std::map<ull, int> trees;
void getSub(int x) {
sub[x] = 1;
for (int i : edge[x]) {
getSub(i);
sub[x] += shift(sub[i]);
}
}
void getRoot(int x) {
for (int i : edge[x]) {
root[i] = sub[i] + shift(root[x] - shift(sub[i]));
getRoot(i);
}
}
using std::cin;
using std::cout;
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
int m;
cin >> m;
for (int t = 1; t <= m; t++) {
int n, rt = 0;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int fa;
cin >> fa;
if (fa) {
edge[fa].push_back(i);
} else {
rt = i;
}
}
getSub(rt);
root[rt] = sub[rt];
getRoot(rt);
ull hash = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
hash += shift(root[i]);
}
if (!trees.count(hash)) {
trees[hash] = t;
}
cout << trees[hash] << '\n';
for (int i = 1; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
}
}
}
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做法二
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92 | #include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
using ull = unsigned long long;
using Hash2 = std::pair<ull, ull>;
constexpr int N = 60, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
ull shift(ull x) {
x ^= mask;
x ^= x << 13;
x ^= x >> 7;
x ^= x << 17;
x ^= mask;
return x;
}
int n;
int size[N], weight[N], centroid[2];
std::vector<int> edge[N];
std::map<Hash2, int> trees;
void getCentroid(int x, int fa) {
size[x] = 1;
weight[x] = 0;
for (int i : edge[x]) {
if (i == fa) {
continue;
}
getCentroid(i, x);
size[x] += size[i];
weight[x] = std::max(weight[x], size[i]);
}
weight[x] = std::max(weight[x], n - size[x]);
if (weight[x] <= n / 2) {
int index = centroid[0] != 0;
centroid[index] = x;
}
}
ull getHash(int x, int fa) {
ull hash = 1;
for (int i : edge[x]) {
if (i == fa) {
continue;
}
hash += shift(getHash(i, x));
}
return hash;
}
using std::cin;
using std::cout;
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
int m;
cin >> m;
for (int t = 1; t <= m; t++) {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int fa;
cin >> fa;
if (fa) {
edge[fa].push_back(i);
edge[i].push_back(fa);
}
}
getCentroid(1, 0);
Hash2 hash;
hash.first = getHash(centroid[0], 0);
if (centroid[1]) {
hash.second = getHash(centroid[1], 0);
if (hash.first > hash.second) {
std::swap(hash.first, hash.second);
}
} else {
hash.second = hash.first;
}
if (!trees.count(hash)) {
trees[hash] = t;
}
cout << trees[hash] << '\n';
for (int i = 1; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
}
centroid[0] = centroid[1] = 0;
}
}
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题目要求遍历一棵无根树产生的本质不同括号序列方案数。
首先可以注意到，两棵不同构的有根树一定不会生成相同的括号序列。我们先考虑遍历有根树能够产生的本质不同括号序列方案数，假设我们当前考虑的子树根节点为 ，记 表示这棵子树的方案数，从 开始往下遍历，顺序可以随意选择，产生 种排列，遍历每个儿子节点 ， 的子树内有 种方案，因此有 。但是，同构的子树之间会产生重复， 需要除掉每种本质不同子树出现次数阶乘的乘积，类似于多重集合的排列。
通过上述 DP，可以求出根节点的方案数。再通过换根 DP，将父亲节点的哈希值和方案信息转移给儿子，可以求出以每个节点为根时的哈希值和方案数。每种不同的子树只需要计数一次即可。
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120 | #include <iostream>
#include <map>
#include <random>
#include <vector>
using ull = unsigned long long;
constexpr int N = 1e5 + 10, M = 998244353;
const ull mask = std::mt19937_64(time(nullptr))();
struct Tree {
ull hash, deg, ans;
std::map<ull, ull> son;
Tree() { clear(); }
void add(Tree& o);
void remove(Tree& o);
void clear();
};
ull inv(ull x) {
ull y = M - 2, z = 1;
while (y) {
if (y & 1) {
z = z * x % M;
}
x = x * x % M;
y >>= 1;
}
return z;
}
ull shift(ull x) {
x ^= mask;
x ^= x << 13;
x ^= x >> 7;
x ^= x << 17;
x ^= mask;
return x;
}
void Tree::add(Tree& o) {
ull temp = shift(o.hash);
hash += temp;
ans = ans * ++deg % M * inv(++son[temp]) % M * o.ans % M;
}
void Tree::remove(Tree& o) {
ull temp = shift(o.hash);
hash -= temp;
ans = ans * inv(deg--) % M * son[temp]-- % M * inv(o.ans) % M;
}
void Tree::clear() {
hash = 1;
deg = 0;
ans = 1;
son.clear();
}
std::vector<int> edge[N];
Tree sub[N], root[N];
std::map<ull, ull> trees;
void getSub(int x, int fa) {
for (int i : edge[x]) {
if (i == fa) {
continue;
}
getSub(i, x);
sub[x].add(sub[i]);
}
}
void getRoot(int x, int fa) {
for (int i : edge[x]) {
if (i == fa) {
continue;
}
root[x].remove(sub[i]);
root[i] = sub[i];
root[i].add(root[x]);
root[x].add(sub[i]);
getRoot(i, x);
}
trees[root[x].hash] = root[x].ans;
}
using std::cin;
using std::cout;
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
int t, n;
cin >> t;
while (t--) {
cin >> n;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
edge[u].push_back(v);
edge[v].push_back(u);
}
getSub(1, 0);
root[1] = sub[1];
getRoot(1, 0);
ull tot = 0;
for (auto p : trees) {
tot = (tot + p.second) % M;
}
cout << tot << '\n';
for (int i = 1; i <= n; i++) {
edge[i].clear();
sub[i].clear();
root[i].clear();
}
trees.clear();
}
}
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参考资料
文中的哈希方法参考并拓展自博客 一种好写且卡不掉的树哈希。
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