模拟退火
引入
模拟退火是一种随机化算法。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数时，我们常使用模拟退火求解。
解释
根据 爬山算法 的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。
什么是退火？（选自 百度百科）
退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。
由于退火的规律引入了更多随机因素，那么我们得到最优解的概率会大大增加。于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。
过程
先用一句话概括：如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。
我们定义当前温度为 
，新状态 与已知状态 （新状态由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量（值）差为 （），则发生状态转移（修改最优解）的概率为
注意：我们有时为了使得到的解更有质量，会在模拟退火结束后，以当前温度在得到的解附近多次随机状态，尝试得到更优的解（其过程与模拟退火相似）。
如何退火（降温）？
模拟退火时我们有三个参数：初始温度 ，降温系数 ，终止温度 。其中 是一个比较大的数， 是一个非常接近 但是小于 的数， 是一个接近 的正数。
首先让温度 ，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 。当 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。
注意为了使得解更为精确，我们通常不直接取当前解作为答案，而是在退火过程中维护遇到的所有解的最优值。
引用一张 Simulated annealing - Wikipedia 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。
实现
此处代码以 「BZOJ 3680」吊打 XXX（求 个点的带权类费马点）为例。
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53 | #include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iomanip>
#include <iostream>
constexpr int N = 10005;
int n, x[N], y[N], w[N];
double ansx, ansy, dis;
double Rand() { return (double)rand() / RAND_MAX; }
double calc(double xx, double yy) {
double res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
double dx = x[i] - xx, dy = y[i] - yy;
res += sqrt(dx * dx + dy * dy) * w[i];
}
if (res < dis) dis = res, ansx = xx, ansy = yy;
return res;
}
void simulateAnneal() {
double t = 100000;
double nowx = ansx, nowy = ansy;
while (t > 0.001) {
double nxtx = nowx + t * (Rand() * 2 - 1);
double nxty = nowy + t * (Rand() * 2 - 1);
double delta = calc(nxtx, nxty) - calc(nowx, nowy);
if (exp(-delta / t) > Rand()) nowx = nxtx, nowy = nxty;
t *= 0.97;
}
for (int i = 1; i <= 1000; ++i) {
double nxtx = ansx + t * (Rand() * 2 - 1);
double nxty = ansy + t * (Rand() * 2 - 1);
calc(nxtx, nxty);
}
}
int main() {
std::cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
srand(0); // 注意，在实际使用中，不应使用固定的随机种子。
std::cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
std::cin >> x[i] >> y[i] >> w[i];
ansx += x[i], ansy += y[i];
}
ansx /= n, ansy /= n, dis = calc(ansx, ansy);
simulateAnneal();
std::cout << std::fixed << std::setprecision(3) << ansx << ' ' << ansy
<< '\n';
return 0;
}
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一些技巧
分块模拟退火
有时函数的峰很多，模拟退火难以跑出最优解。
此时可以把整个值域分成几段，每段跑一遍模拟退火，然后再取最优解。
卡时
有一个 clock() 函数，返回程序运行时间。
可以把主程序中的 simulateAnneal(); 换成 while ((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC < MAX_TIME) simulateAnneal();。这样子就会一直跑模拟退火，直到用时即将超过时间限制。
这里的 MAX_TIME 是一个自定义的略小于时限的数（单位：秒）。
习题
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