狄利克雷生成函数

\mathcal{P} 表示素数集合。

狄利克雷生成函数

对于无穷序列 f_1, f_2, \ldots,定义其狄利克雷生成函数(Dirichlet series generating function,DGF)1为:

\tilde{F}(x) = \sum_{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x}

如果序列 f 满足积性(积性函数2):\forall i\perp j, \; f_{ij} = f_i f_j,那么其 DGF 可以由质数幂处的取值表示:

\tilde{F}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \left(1 + \frac{f_p}{p^x} + \frac{f_{p^2}}{p^{2x}} + \frac{f_{p^3}}{p^{3x}} + \cdots \right)

对于两个序列 f, g,其 DGF 之积对应的是两者的狄利克雷卷积4序列的 DGF:

\tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}}

常见积性函数的 DGF

DGF 最适合用于研究与积性函数的狄利克雷卷积相关的问题。因此首先我们要了解常见积性函数的 DGF。

黎曼函数

序列 [1, 1, 1, \ldots] 的 DGF 是 \sum_{i\ge 1}\frac{1}{i^x} = \zeta(x)\zeta 是黎曼函数。

由于其满足积性,因此我们可以得到 [1, 1, 1, \ldots] 的 DGF 的另一种形式:

\zeta(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{1}{p^x} + \frac{1}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{-x}}

莫比乌斯函数

对于莫比乌斯函数 \mu,它的 DGF 定义为

\tilde{M} (x) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\left(1 - \frac{1}{p^x}\right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}(1-p^{-x})

容易发现 \zeta(x) \tilde{M}(x) = 1,也就是说 \tilde{M}(x) = \frac{1}{\zeta(x)}

欧拉函数

对于欧拉函数 \varphi,它的 DGF 定义为

\tilde{\Phi}(x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p-1}{p^x} + \frac{p(p-1)}{p^{2x}} + \frac{p^2(p-1)}{p^{3x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}}\frac{1-p^{-x}}{1-p^{1-x}}

因此有 \tilde{\Phi}(x) = \frac{\zeta(x-1)}{\zeta(x)}

幂函数

对于函数 I_k (n) = n^k,它的 DGF 定义为

\tilde{I_k} (x) = \prod_{p\in\mathcal{P}} \left(1 + \frac{p^k}{p^x} + \frac{p^{2k}}{p^{2x}} + \ldots \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1}{1-p^{k-x}} = \zeta(x-k)

根据这些定义,容易推导出 \varphi \ast 1 = I\ast 表示狄利克雷卷积。因为 \tilde{\Phi}(x)\zeta(x) = \zeta(x-1)

其他函数

对于约数幂函数 \sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k,它的 DGF 可以表示为狄利克雷卷积的形式:\tilde S(x) = \zeta(x-k)\zeta(x)

对于 u(n) = |\mu(n)|(无平方因子数),它的 DGF 为 \tilde{U}(x) = \prod_{p\in \mathcal{P}} (1+p^{-x}) = \frac{\zeta(x)}{\zeta(2x)}

Dirichlet 卷积

定义

对于两个数论函数 f(x)g(x),则它们的狄利克雷卷积得到的结果 h(x) 定义为:

h(x)=\sum_{d\mid x}{f(d)g\left(\dfrac xd \right)}=\sum_{ab=x}{f(a)g(b)}

上式可以简记为:

h=f*g

狄利克雷卷积是数论函数的重要运算,数论函数的许多性质都是通过这个运算挖掘出来的。

狄利克雷卷积与狄利克雷生成函数(DGF)密切相关。对于两个序列 f, g,其狄利克雷生成函数之积,对应的是两者的狄利克雷卷积序列的狄利克雷生成函数:

\tilde{F}(x)\tilde{G}(x) = \sum_{i} \sum_{j}\frac{f_i g_j}{(ij)^x} = \sum_{i} \frac{1}{i^x}\sum_{d | i} f_d g_{\frac{i}{d}}

性质

交换律: f*g=g*f

结合律:(f*g)*h=f*(g*h)

分配律:(f+g)*h=f*h+g*h

等式的性质: f=g 的充要条件是 f*h=g*h,其中数论函数 h(x) 要满足 h(1)\ne 0

证明: 充分性是显然的。

证明必要性,我们先假设存在 x,使得 f(x)\ne g(y)。那么我们找到最小的 y\in \mathbb{N},满足 f(y)\ne g(y),并设 r=f*h-g*h=(f-g)*h

则有:

\begin{aligned} r(y)&=\sum_{d\mid y}{(f(d)-g(d))h\left(\dfrac yd \right)}\\ &=(f(y)-g(y))h(1)\\ &\ne 0 \end{aligned}

f*hg*hy 处的取值不一样,即有 f*h\ne g*h。矛盾,所以必要性成立。

证毕

以上性质在狄利克雷生成函数的观点下是显然的,这种特殊的卷积等价于相应生成函数的乘法。

单位元: 单位函数 \varepsilon 是 Dirichlet 卷积运算中的单位元,即对于任何数论函数 f,都有 f*\varepsilon=f

狄利克雷卷积运算中的单位元不是常函数,但是在狄利克雷生成函数中等价于常数 1

狄利克雷卷积运算中的数论函数常函数 1,在狄利克雷生成函数中等价于黎曼函数 \zeta

逆元: 对于任何一个满足 f(x)\ne 0 的数论函数,如果有另一个数论函数 g(x) 满足 f*g=\varepsilon,则称 g(x)f(x) 的逆元。由 等式的性质 可知,逆元是唯一的。

狄利克雷卷积运算中的逆元,在狄利克雷生成函数中相当于倒数运算。

容易构造出 g(x) 的表达式为:

g(x)=\dfrac {\varepsilon(x)-\sum_{d\mid x,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {x}{d} \right)}}{f(1)}

重要结论

两个积性函数的 Dirichlet 卷积也是积性函数

证明: 设两个积性函数为 f(x)g(x),再记 h=f*g

\gcd(a,b)=1,则:

h(a)=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)},h(b)=\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)},

所以:

\begin{aligned} h(a)h(b)&=\sum_{d_1\mid a}{f(d_1)g\left(\dfrac a{d_1} \right)}\sum_{d_2\mid b}{f(d_2)g\left(\dfrac b{d_2} \right)}\\ &=\sum_{d\mid ab}{f(d)g\left(\dfrac {ab}d \right)}\\ &=h(ab) \end{aligned}

所以结论成立。

证毕

积性函数的逆元也是积性函数

证明:我们设 f*g=\varepsilon,并且不妨设 f(1)=1。考虑归纳法:

  • nm=1,则 g(nm)=g(1)=1,结论显然成立;

  • nm>1(\gcd(n,m)=1),假设现在对于所有的 xy<nm(\gcd(x,y)=1),都有 g(xy)=g(x)g(y),所以有: $$ g(nm)=-\sum_{d\mid nm,d\ne 1}{f(d)g\left(\dfrac {nm}d \right)}=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)} $$ 又因为 \dfrac{nm}{ab}<nm,所以有: $$ \begin{aligned} g(nm)&=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(ab)g\left(\dfrac {nm}{ab} \right)}\\ &=-\sum_{a\mid n,b\mid m,ab\ne 1}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=f(1)f(1)g(n)g(m)-\sum_{a\mid n,b\mid m}{f(a)f(b)g\left(\dfrac {n}{a} \right)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=g(n)g(m)-\sum_{a\mid n}{f(a)g\left(\dfrac {n}{a} \right)}\sum_{b\mid m}{f(b)g\left(\dfrac {m}{b} \right)}\\ &=g(n)g(m)-\varepsilon(n)-\varepsilon(m)\\ &=g(n)g(m) \end{aligned} $$

综合以上两点,结论成立。

证毕

这也说明,数论函数的积性,在狄利克雷生成函数中的对应具有封闭性。

例子

\begin{aligned} \varepsilon=\mu \ast 1&\iff\varepsilon(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\\ d=1 \ast 1&\iff d(n)=\sum_{d\mid n}1\\ \sigma=\operatorname{id} \ast 1&\iff\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d\\ \varphi=\mu \ast \operatorname{id}&\iff\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\cdot\mu(\frac{n}{d}) \end{aligned}

相关应用

DGF 的应用主要体现在构造积性序列的狄利克雷卷积序列。研究方向通常是质数处的取值。

例如在杜教筛的过程中,要计算积性序列(积性函数在正整数处的取值构成的序列)f 的前缀和,我们需要找到一个积性序列 g 使得 f\ast gg 都可以快速求前缀和。那么我们可以利用 DGF 推导这一过程。

以洛谷 3768 简单的数学题3为例,我们要对 f_i = i^2\varphi(i) 构造一个满足上述条件的积性序列 g。由于 f 是积性的,考虑其 DGF

\tilde{F}(x) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left(1 + \sum_{k\ge 1} \frac{p^{3k-1}(p-1)}{p^{kx}} \right) = \prod_{p\in \mathcal{P}} \frac{1-p^{2-x}}{1-p^{3-x}} = \frac{\zeta(x-3)}{\zeta(x-2)}

因此 \tilde{F}(x)\zeta(x-2) = \zeta(x-3)。而 \zeta(x-2) 对应的积性函数为 I_2,所以令 g = I_2 即可。这样有 f\ast g = I_3,两者都是可以快速计算前缀和的。


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