生成函数简介

生成函数(generating function),又称母函数,是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

生成函数有许多不同的种类,但大多可以表示为单一的形式:

F(x)=\sum_n a_nk_n(x)

其中 k_n(x) 被称为核函数。不同的核函数会导出不同的生成函数,拥有不同的性质。举个例子:

  1. 普通生成函数:k_n(x)=x^n
  2. 指数生成函数:k_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}
  3. 狄利克雷生成函数:k_n(x)=\dfrac{1}{n^x}

另外,对于生成函数 F(x),我们用 [k_n(x)]F(x) 来表示它的第 n 项的核函数对应的系数,也就是 a_n


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