多项式反三角函数
描述¶
给定多项式 f\left(x\right),求模 x^{n} 意义下的 \arcsin{f\left(x\right)}, \arccos{f\left(x\right)} 与 \arctan{f\left(x\right)}。
解法¶
仿照求多项式 \ln 的方法,对反三角函数求导再积分可得:
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{x} &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\
\arcsin{x} &= \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{x} &= - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\
\arccos{x} &= - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{x} &= \frac{1}{1 + x^{2}} \\
\arctan{x} &= \int \frac{1}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x
\end{aligned}
那么代入 f\left(x\right) 就有:
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{f\left(x\right)} &= \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \\
\arcsin{f\left(x\right)} &= \int \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \mathrm{d} x \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{f\left(x\right)} &= - \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \\
\arccos{f\left(x\right)} &= - \int \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \mathrm{d} x \\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{f\left(x\right)} &= \frac{f'\left(x\right)}{1 + f^{2}\left(x\right)} \\
\arctan{f\left(x\right)} &= \int \frac{f'\left(x\right)}{1 + f^{2}\left(x\right)} \mathrm{d} x
\end{aligned}
直接按式子求就可以了。
代码¶
多项式反三角函数
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